كثيرة الحدود: تعريفها وأنواعها وعملياتها وجذورها

كثيرة الحدود تعبير جبري محدود، يُبنى كل حدّ فيه من معامل مضروب في قوة صحيحة غير سالبة لمتغير أو أكثر. ليست كل عبارة تظهر فيها حروف وعمليات حسابية من هذا الصنف؛ فالأسس السالبة والكسرية، وظهور المتغير في المقام، تُخرج التعبير من التعريف حتى لو بدا قريبًا منه في الشكل. على هذا النوع من التعبيرات تقوم معادلات جبرية ودوال ملساء، وإليه يرجع تحليل العوامل وإيجاد الجذور. وتدخل كثيرات الحدود أيضًا في حساب مساحات وأحجام، وفي نماذج حركية، وفي تقريبات عددية وحسابات حاسوبية، لكن صلاحيتها في كل ذلك مشروطة بفرضيات تُذكَر ولا تُفترَض من تلقاء نفسها.

في بعض المقررات العربية تسمى «حدودية». المصطلح الأكثر دورانًا في هذا السياق هو كثيرة الحدود، والمعنى واحد ما دام التعريف منضبطًا: مجموع منتهٍ من الحدود بالشروط السابقة، لا أي تعبير جبري على الإطلاق.

كثيرة الحدود باختصار

يمكن قراءة التعبير 4x³ − 2x + 7 من غير أدوات إضافية. حدوده ثلاثة: 4x³ و−2x و7، فالإشارة جزء من الحد لا زينة أمامه. المتغير x، وأعلى أس له هو 3، ومعامل هذا الحد الأعلى، أي المعامل الرئيس، هو 4، والحد الذي لا يظهر فيه المتغير هو الحد الثابت 7. غياب حد من الدرجة الثانية لا يُخرج التعبير من كثيرات الحدود؛ فليس واجبًا أن تحضر كل الدرجات الأدنى.

بهذا يجتمع في مثال واحد أمران يُخلطان كثيرًا. التعبير ثلاثي الحدود لأن عدد حدوده بعد التبسيط ثلاثة، وهو في الوقت نفسه تكعيبي لأن درجته 3. التصنيف بعدد الحدود والتصنيف بالدرجة إجابتان عن سؤالين مختلفين. التعبير نفسه يصلح أن يُقابَل بدالة f(x) = 4x³ − 2x + 7 تُخرِج عددًا لكل مدخل x، وبمعادلة 4x³ − 2x + 7 = 0 تسأل عن المدخلات التي تجعل الناتج صفرًا. والعمليات القريبة من هذا المستوى هي الجمع والطرح والضرب، ثم التحليل وإيجاد الجذور، أما القسمة فلا تُعيد كثيرة حدود إلا إذا انتهت من غير باقٍ.

ما الذي يستقر من القراءة الأولى؟

• كثيرة الحدود مجموع منتهٍ من الحدود، وأسس المتغيرات فيها أعداد صحيحة غير سالبة، ومعاملاتها أعداد من مجموعة نحددها بحسب السياق، كالنسبية أو الحقيقية أو المركبة.
• درجة كثيرة الحدود في متغير واحد هي أكبر أس لمتغيرها بعد دمج الحدود المتشابهة، بشرط أن يكون معامل ذلك الحد غير صفري.
• التصنيف بعدد الحدود غير التصنيف بالدرجة. قد تكون كثيرة الحدود ثنائية الحد وتكعيبية في آن واحد، مثل x³ + 1.
• الجمع والطرح والضرب تُبقي الناتج داخل كثيرات الحدود إذا بدأنا منها، أما القسمة فقد تُنتج خارج قسمة وباقيًا، وقد لا يكون الناتج النهائي كثيرة حدود.
• التحليل إلى عوامل والجذور وجهان لمسألة واحدة عند العمل على معادلة مصنوعة بحيث يساوي أحد طرفيها صفرًا: الجذر قيمة، والعامل تعبير.
• الدرجة والمعامل الرئيس والجذور وتعدديتها تعطي معلومات حقيقية عن شكل المنحنى، من غير أن ترسم المنحنى كله وحدها.

ما كثيرة الحدود، وما الذي يخرج عن تعريفها؟

الصيغة وشرط الأسس

في متغير واحد تُكتب كثيرة الحدود على الصورة القياسية:

هنا x المتغير، وaᵢ المعامل المرافق للقوة i، وa₀ الحد الثابت، وn عدد صحيح غير سالب. إذا كان aₙ غير صفري فدرجة كثيرة الحدود هي n، وaₙ معاملها الرئيس. عدد الحدود منتهٍ لأن المجموع يتوقف عند حد أعلى، لا لأن هناك قاعدة خفية تختصر أي سلسلة لا نهائية.

يشرح هذا الشرط لماذا تُقبل تعبيرات متباينة في المظهر. الثابت 7 كثيرة حدود من الدرجة صفر، لأنه 7x⁰ بالمعنى الجبري المعتاد للأس الصفري. و3x² − 2x + 5 تربيعية، و7x³ + 1 تكعيبية ثنائية الحد. وجود كسر في المعامل لا يُخل بالتعريف: (1/2)x² − 3x + 4/5 كثيرة حدود، لأن الأسس على x صحيحة غير سالبة، والكسر صفة للمعامل لا للمتغير. المرجع التعليمي المعتاد في هذا المستوى، كما في عرض أوبن ستاكس لكثيرات الحدود، يضع التعريف على هذا النحو: مجموع حدود، كل حد فيها متغير مرفوع إلى قوة صحيحة غير سالبة ومضروب في معامل.

ما الذي يشبهها ولا يدخل فيها؟

المقارنة الآتية تضبط الحد الفاصل. الحكم فيها خاص بالمتغير المكتوب، لا بجمال التعبير أو بقربه من أمثلة الكتاب.

لهذا لا تُعَدّ الجذور التربيعية للمتغيرات، ولا الحدود ذات الأسس السالبة، كثيرات حدود. الخلط يأتي من الاكتفاء بعبارة فضفاضة من نوع «تعبير فيه جمع وضرب ومتغيرات». هذه العبارة أوسع من التعريف، وتُدخل تعبيرات يختلف سلوكها: 1/x غير معرّفة عند الصفر، و√x لا تُعرَّف على كل الأعداد الحقيقية بالصورة الحقيقية المألوفة، بينما كثيرة الحدود الحقيقية معرّفة عند كل عدد حقيقي.

التعبير والدالة والمعادلة

الفرق هنا فرق وظيفة لا فرق ترادف.

كثيرة الحدود تعبير. يمكن تبسيطه وتحليله وكتابته بأكثر من ترتيب من غير أن نسأله عن قيمة.

الدالة كثيرة الحدود قاعدة تربط كل مدخل بمخرج عن طريق هذا التعبير. نكتب f(x) = x² − 4، فيكون f(3) = 5. العدد 5 قيمة للدالة عند 3، لا جذر ولا حل.

المعادلة كثيرة الحدود جملة رمزية فيها مساواة، وأحد طرفيها على الأقل كثير حدود. المعادلة x² − 4 = 0 تسأل: أي قيم للمتغير تجعل الطرف الأيسر صفرًا؟ الجواب هنا x = 2 وx = −2.

التعبير الواحد x² − 4 يقف خلف الثلاثة. هو نفسه التعبير، وهو قاعدة الدالة f، وهو الطرف الذي نضعه مقابل الصفر في المعادلة. من غير هذا الفصل يصبح الكلام عن «الجذر» و«القيمة» و«الرسم» كلامًا واحدًا مشوشًا: نقطة على المنحنى قد تكون (3, 5) من غير أن تقطع محور السينات، والقطع لا يحدث إلا حيث القيمة صفر.

قراءة الحدود: من الإشارة إلى الصورة القياسية

الحد الجبري

الحد، في هذا السياق، جزء من مجموع جبري لا يفصل داخله جمع أو طرح. في 4x³ − 2x + 7 الحدود هي 4x³ و−2x و7. كتابة التعبير على صورة 4x³ + (−2x) + 7 تُظهر أن إشارة الناقص دخلت المعامل. لهذا، عند الجمع أو الطرح أو تكوين معادلة، لا تُنتزع الإشارة وتُترك الحدود كأنها كلها موجبة.

المتغير والأس والمعامل

المتغير رمز يحل محله عدد عند التعويض. الأس، في متغير واحد، هو درجة ذلك الحد. المعامل هو العدد الذي يُضرب به حد القوة، وهو الذي يغيّر مقدار الحد لا نوعه الجبري.

الفرق بين 5x² و5x وx² فرق في الدرجة وفي المعامل. الأول من الدرجة الثانية ومعامله 5. الثاني من الدرجة الأولى ومعامله 5. الثالث من الدرجة الثانية ومعامله 1، لأن العرف أن يُكتب x² ولا يُكتب 1·x². المعامل 1 موجود وإن اختفى من الخط.

المعامل الرئيس والحد الثابت

بعد كتابة كثيرة الحدود في أبسط صورة لها، المعامل الرئيس هو معامل الحد الأعلى درجة. الحد الثابت هو الحد الخالي من المتغير، وهو قيمة التعبير عند التعويض بالصفر. في −2x⁴ + x − 9 المعامل الرئيس −2 لا 1، والحد الثابت −9. وفي x³ + 4x لا حد ثابت ظاهر، أي أن الحد الثابت صفر، وP(0) = 0.

غياب بعض الدرجات الوسطى لا يغيّر الصفة. x⁴ + 1 كثيرة حدود من الدرجة الرابعة، وإن خلت من x³ وx² وx.

الصورة القياسية والحدود المتشابهة

الصورة القياسية ترتيب تنازلي للأسس بعد دمج ما يتشابه. الحدود المتشابهة هي التي تتفق في المتغيرات وفي أسسها، لا في معاملاتها. 5x² و−5x² متشابهان، أما 5x² و5x فليستا كذلك.

التبسيط قد يغيّر الحكم على الدرجة. التعبير 5x² + 3x − 5x² + 7 يبدو للنظرة الأولى وكأنه يحتوي درجة ثانية، لكن الحدين التربيعيين يلغي أحدهما الآخر، فيبقى 3x + 7، ودرجته 1. من يحدد الدرجة قبل الدمج يصف الكتابة لا كثيرة الحدود.

تفصيل اصطلاحي: كثيرة الحدود الصفرية هي التي كل معاملاتها أصفار، مثل 0 أو 0x⁵ + 0x. كل عدد يصفّرها، لذلك لا تُعامل معاملة كثيرة حدود من درجة عادية. في كثير من مقررات المدرسة تُترك درجتها غير معرّفة. وفي الجبر الجامعي يشيع اصطلاح أن درجتها −∞، حتى تبقى قاعدتا درجة المجموع ودرجة الجداء صحيحتين من غير استثناء لفظي. الاصطلاحان متماسكان إذا لزم الكاتب أحدهما ولم يخلط بينهما.

اقرأ أيضاً:

• الجبر التجريدي: المفهوم، الفروع، والتطبيقات
• نهاية التابع (Limit): المفهوم، الحساب، والتطبيقات

تصنيفان لا يجوز خلطهما

بحسب عدد الحدود

بعد التبسيط، لا قبله:

أحادية الحد حد واحد، مثل 7x⁴ أو الثابت 6. ثنائية الحد حدان، مثل x³ + 1 أو 3x − 5. ثلاثية الحدود ثلاثة حدود، مثل x² − 5x + 6. وما زاد على ثلاثة حدود يبقى كثيرة حدود من غير اسم عربي شائع يختص به. هذا التصنيف يصف عدد الحدود، ولا يخبر بالدرجة. x³ + 1 ثنائية حد وتكعيبية معًا، وx + 2 ثنائية حد وخطية معًا.

بحسب الدرجة

في المتغير الواحد، وبعد التبسيط:

الثابتة غير الصفرية من الدرجة صفر، مثل 5. الخطية من الدرجة الأولى، مثل 2x + 1. التربيـعية من الدرجة الثانية، مثل x² + 3x. التكعيبية من الدرجة الثالثة، مثل x³ − 1. ثم تأتي الدرجات الأعلى، رابعة وخامسة فما فوق، من غير حاجة إلى اسم جديد لكل درجة حتى يُفهم السلوك.

الاستثناء الذي ينبغي إبقاؤه ظاهرًا هو كثيرة الحدود الصفرية، وقد تقدمت. لا تُسنَد إليها الدرجة صفر؛ فالعدد الثابت غير الصفري، مثل 4، درجته صفر، أما كثيرة الحدود الصفرية فكل قيمها صفر، ودرجتها خارج هذا السلّم أو تُترك بلا درجة بحسب الاصطلاح.

حساب الدرجة في متغير واحد

الطريقة قصيرة، بشرط احترام الترتيب: تُدمج الحدود المتشابهة، ثم يُؤخذ أكبر أس معامله غير صفري. المعامل الصفري لا يصنع حدًا. في x⁵ + 4x⁵ − 2x + 8 يصبح الحد الأعلى 5x⁵، فالدرجة 5 والمعامل الرئيس 5. وفي المثال السابق الذي أُلغي فيه الحد التربيعي، الدرجة 1 لا 2.

أكثر من متغير

3x²y + 2xy² − 7 كثيرة حدود في متغيرين. درجة الحد هنا مجموع أسس متغيراته: درجة 3x²y هي 2 + 1 = 3، ودرجة 2xy² هي 1 + 2 = 3، ودرجة −7 هي صفر. الدرجة الكلية لكثيرة الحدود هي أكبر هذه الدرجات، أي 3.

هذا العدد غير درجة كثيرة الحدود بالنسبة إلى متغير واحد مع تثبيت الآخر. بالنسبة إلى x أعلى أس هو 2، وبالنسبة إلى y أعلى أس هو 2. السؤال «ما الدرجة؟» ناقص إلى أن يُحدد: درجة كلية، أم درجة في متغير بعينه؟ في متغير واحد يتطابق السؤالان، ولذلك لا يظهر الفرق إلا عند تعدد المتغيرات.

العمليات: ما الذي يظل كثيرة حدود؟

الجمع والطرح

جمع كثيرات الحدود هو جمع معاملات الحدود المتشابهة بعد توحيد الترتيب. خذ

(4x³ + 2x − 1) + (−x³ + 3x² − 2x + 5).

معامل x³ يصبح 4 + (−1) = 3، ويظهر 3x² من الجمع الثاني وحده، ومجموع حدي x هو 2 + (−2) = 0 فيختفي المتغير من الدرجة الأولى، والثابت −1 + 5 = 4. الناتج 3x³ + 3x² + 4. طريقة المراجعة أن تُقابل معاملات كل درجة في الطرفين بمجموعها في الناتج، درجة درجة.

الطرح هو جمع بعد توزيع الإشارة السالبة على كل حدود كثيرة الحدود المطروحة، لا على حدها الأول فقط. في

(3x² + 4x − 5) − (x² − 2x + 1)

التوزيع الصحيح يعطي 3x² + 4x − 5 − x² + 2x − 1، أي 2x² + 6x − 6. الخطأ الشائع أن تُغيَّر إشارة x² وتبقى إشارة −2x كما كانت، فيخرج ناتج مثل 2x² + 2x − 4 لا علاقة له بالتعبير الأصلي. إذا كان الطرح من تعبير فيه أكثر من حد، فكل حد يغيّر إشارته.

الضرب ودرجة الجداء

الضرب توزيع: كل حد في الأول يُضرب في كل حد في الثاني، ثم تُجمع الحدود المتشابهة.

(2x + 3)(x − 4) = 2x·x + 2x·(−4) + 3·x + 3·(−4) = 2x² − 8x + 3x − 12 = 2x² − 5x − 12.

درجتا العاملين 1 و1، ودرجة الجداء 2، وحاصل ضرب المعاملين الرئيسين 2·1 = 2 هو المعامل الرئيس للناتج.

وإذا اتسع أحد العاملين إلى ثلاثة حدود ظهر النمط نفسه. (x + 1)(x² − x + 1) = x³ − x² + x + x² − x + 1 = x³ + 1. هذا ليس اختصارًا عارضًا، بل تحليل مجموع مكعبين بالمعكوس: x³ + 1³. الدرجة هنا 1 + 2 = 3.

إذا كانت كثيرة الحدود غير صفرية ومعاملاتها في الأعداد النسبية أو الحقيقية أو المركبة، فإن درجة الجداء تساوي مجموع الدرجتين، لأن حاصل ضرب المعاملين الرئيسين لا يكون صفرًا. تنهار هذه الطمأنينة في بنى جبرية فيها قواسم للصفر، لكن ذلك خارج حساب المدرسة، وسيعود عند الحديث عن مجموعة المعاملات.

القسمة: خارج وباقٍ

القسمة لا تُعامَل معاملة الضرب. المقسوم P(x) والمقسوم عليه D(x) غير الصفري يرتبطان بخارج Q(x) وباقٍ R(x) وفق ما تسميه مقررات الجبر خوارزمية القسمة:

والباقي إما صفر، وإما كثيرة حدود درجتها أقل من درجة المقسوم عليه. فوق الأعداد النسبية أو الحقيقية أو المركبة، هذا الزوج Q وR وحيد.

القسمة على x − 1 للمقسوم x³ − 2x² − 5x + 6 تُظهر صورة باقٍ صفري. بالقسمة التركيبية، وهي منظمة هنا لأن المقسوم عليه خطي على الصورة x − c:

1 | 1 -2 -5 6 | 1 -1 -6 ----------------- 1 -1 -6 0

السطر الأخير يعني أن الخارج x² − x − 6 والباقي 0. ثم x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2). إذن

x³ − 2x² − 5x + 6 = (x − 1)(x − 3)(x + 2).

التعويض بـ 1 و3 و−2 يعيد صفرًا في كل مرة، وهذه مراجعة مستقلة عن ترتيب أسطر القسمة.

أما x² + 1 مقسومة على x − 1 فلا تنقسم بلا باقٍ. القسمة التركيبية عند 1 تعطي الخارج x + 1 والباقي 2، لأن

x² + 1 = (x − 1)(x + 1) + 2.

الناتج بوصفه كسرًا هو x + 1 + 2/(x − 1)، وهذا ليس كثيرة حدود. القسمة التامة حالة خاصة يكون فيها الباقي صفرًا، لا القاعدة العامة. القسمة المطولة تتبع المنطق نفسه حين لا يكون المقسوم عليه على الصورة x − c، وتُراجع بالعلاقة السابقة: المقسوم يساوي المقسوم عليه مضروبًا في الخارج، مضافًا إليه الباقي.

التعويض

حساب القيمة تعويض ثم تنفيذ الأسس قبل الضرب، والضرب قبل الجمع، مع احترام الأقواس. إذا كان P(x) = 2x³ − x + 4 فعند x = −2 نحسب أولًا (−2)³ = −8، ثم

2 × (−8) − (−2) + 4 = −16 + 2 + 4 = −10.

القيمة −10 ليست جذرًا. الجذر لا يظهر إلا إذا خرج التعويض صفرًا. التعويض نفسه هو أداة اختبار الجذر، وأداة بناء جدول صغير قبل الرسم، وأداة حساب باقي القسمة على x − a كما ستبين نظرية الباقي.

تحليل كثيرة الحدود إلى عوامل

ماذا يضيف التحليل؟

التحليل إعادة كتابة كثيرة الحدود على صورة حاصل ضرب كثيرات حدود من درجات أدنى، ضمن مجموعة أعداد نحددها. x² − 5x + 6 صورة موسعة، و(x − 2)(x − 3) صورة عاملية، والضرب يعيد الأصل.

فائدة ذلك عملية: التبسيط، واكتشاف جذور المعادلة، ورؤية سلوك الدالة قرب المحاور. التحليل لا يغيّر كثيرة الحدود، بل يغيّر شكل عرضها.

العامل المشترك والتجميع

في 6x³ + 9x² العامل المشترك 3x²، فيخرج 3x²(2x + 3). اختبار الصحة أن يُعاد الضرب: 3x² · 2x = 6x³ و3x² · 3 = 9x².

التجميع يفيد حين لا يوجد عامل مشترك لكل الحدود، لكن الحدود تنقسم إلى مجموعات يظهر في كل منها عامل.

x³ + 2x² + 3x + 6 = x²(x + 2) + 3(x + 2) = (x² + 3)(x + 2).

إعادة الضرب تعيد التعبير الأصلي حدًا حدًا. فوق الأعداد الحقيقية لا يتفكك x² + 3 إلى عوامل خطية حقيقية، لأن المعادلة x² = −3 ليس لها حل حقيقي. التحليل إذن توقف عند ما تسمح به المجموعة التي نعمل داخلها، لا عند «أبسط شكل في المطلق».

متطابقات تُعرَف من شكلها

تكفي خمس صور لكثير من التمارين، بشرط أن تُطابق الحدود لا أن تُشبِهها:

مربع المجموع (a + b)² = a² + 2ab + b². مربع الفرق (a − b)² = a² − 2ab + b². الفرق بين مربعين a² − b² = (a − b)(a + b)، ومنه x² − 9 = (x − 3)(x + 3). مجموع مكعبين a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)، ومنه x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4). فرق مكعبين a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)، ومنه x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1).

الحد الأوسط هو الذي يمنع التسرع. x² + 9 ليس فرق مربعين، ولا هو (x + 3)² لأن مربع المجموع يضيف 6x. وx² + 2x + 9 ليس مربعًا كاملًا لأن 2 · x · 3 = 6x لا 2x.

ثلاثية الحدود التربيعية

حين تكون x² + bx + c ذات معاملات صحيحة مناسبة، نبحث عن عددين حاصل ضربهما c ومجموعهما b. في x² − 5x + 6 العددان −2 و−3، فتكون (x − 2)(x − 3).

إذا كان المعامل الرئيس غير 1، أو لم تنجح هذه التجربة ضمن الأعداد النسبية، فالقانون العام للمعادلة ax² + bx + c = 0، حيث a ≠ 0، يعطي الجذرين عند وجودهما:

الكمية b² − 4ac هي المميز. إذا كان موجبًا فجذران حقيقيان مختلفان، وإذا كان صفرًا فجذر حقيقي مكرر، وإذا كان سالبًا فلا يوجد عاملان خطيان بمعاملات حقيقية. مثال ذلك x² + x + 1: المميز 1 − 4 = −3، والجذران −1/2 ± i√3/2. كثيرة الحدود هذه غير قابلة للاختزال فوق الأعداد الحقيقية، وقابلة للتحليل فوق الأعداد المركبة. العودة إلى القانون ليست هزيمة للتحليل، بل طريق حين لا توجد عوامل خطية داخل المجموعة المسموح بها.

مراجعة التحليل

الطريق الأول إعادة الضرب ومقارنة المعاملات بالصورة الموسعة. الطريق الثاني تعويض الجذور المرشحة: إذا كان x − a عاملًا مكتوبًا فـP(a) يجب أن يكون صفرًا. وإن بقي باقٍ غير صفري فالتحليل غير تام أو خاطئ. وبعض كثيرات الحدود لا تتفكك إلى عوامل أبسط داخل مجموعة، ثم تتفكك إذا وُسّعت المجموعة، كما في x² + 1 فوق الحقيقية ثم فوق المركبة. «لا تتحلل» جملة ناقصة إلى أن نضيف: فوق أي أعداد؟

الجذور وحل المعادلات

الجذر قيمة، والعامل تعبير

جذر كثيرة الحدود P هو عدد a يحقق P(a) = 0. وهو نفسه حل للمعادلة P(x) = 0. الفرق في زاوية الكلام: الجذر صفة للعدد بالنسبة إلى التعبير، والحل صفة للعدد بالنسبة إلى المعادلة. أما العامل x − a فتعبير جبري، لا عدد.

الربط بينهما هو محتوى نظرية العامل: فوق الأعداد التي نقسم عليها قسمة عادية، يكون x − a عاملًا لكثيرة الحدود P(x) إذا وفقط إذا كان P(a) = 0. هكذا يتحول الصفر في التعويض إلى قاسم خطي، وبالعكس.

الجذور قد تكون حقيقية، مثل 2 و−2 في x² − 4، وقد تكون غير حقيقية، مثل جذري x² + 1، أي i و−i. الجذر الحقيقي يظهر على محور السينات في الرسم الحقيقي. الجذر غير الحقيقي لا يظهر نقطة قطع على ذلك المحور.

الحل بعد جعل أحد الطرفين صفرًا

المعادلة (x − 2)(x − 3) = 0 لا تُحل بفك الأقواس أولًا إن كان الهدف الجذور. خاصية حاصل الضرب الصفري تقول إن الجداء يساوي صفرًا إذا كان أحد العوامل صفرًا. إذن x − 2 = 0 أو x − 3 = 0. إن بدأنا من الصورة الموسعة x² − 5x + 6 = 0 فالسير معكوس: ننقل الحدود حتى يصبح الطرف الآخر صفرًا، ثم نحلّل، ثم نطبّق الخاصية نفسها. التحقق تعويض كل حل في المعادلة الأصلية، لا في صورة وسيطة ربما أخطأنا في تحليلها.

هذه الخاصية لا تُطبَّق على مجموع مساوٍ للصفر. من A + B = 0 لا يلزم A = 0 أو B = 0. كثير من الأخطاء في المعادلات تأتي من معاملة الجمع معاملة الضرب.

نظرية الباقي ونظرية العامل

إذا قُسمت P(x) على x − a فالباقي عدد ثابت، وهذا الثابت يساوي P(a). تلك نظرية الباقي. البرهان قصير من خوارزمية القسمة: P(x) = (x − a)Q(x) + R، والتعويض بـ x = a يُسقط الحد الأول فيبقى R = P(a).

نظرية العامل هي الحالة التي يكون فيها هذا الباقي صفرًا. لذلك يكفي، لاختبار كون x − 1 عاملًا في x³ − 2x² − 5x + 6، أن نحسب P(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0، من غير أن نبدأ بالقسمة. وإذا أردنا الباقي عند القسمة على x + 2، أي على x − (−2)، حسبنا P(−2) مباشرة. النظريتان تختصران فحصًا، ولا تغنيان عن إكمال التحليل إذا كان المطلوب كل الجذور.

الجذور النسبية والقسمة التركيبية

إذا كانت المعاملات أعدادًا صحيحة، والمعامل الرئيس aₙ والحد الثابت a₀ غير صفريين، فمبرهنة الجذر النسبي تقيّد المرشحين: أي جذر نسبي p/q في أبسط صورة يكون p قاسمًا للحد الثابت وq قاسمًا للمعامل الرئيس. المبرهنة لا تقول إن هؤلاء المرشحين جذور، بل تقول إن الجذر النسبي، إن وُجد، واحد منهم. قد لا يوجد جذر نسبي أصلًا، كما في x² − 2.

خذ 2x³ − 3x² − 3x + 2. قواسم الثابت 2 هي ±1 و±2، وقواسم المعامل الرئيس 2 هي ±1 و±2، فالمرشحون ±1 و±2 و±1/2. التعويض يُسقط بعضهم ويبقي بعضهم: P(1) = −2 فليس جذرًا، بينما P(2) = 0 وP(−1) = 0 وP(1/2) = 0.

القسمة التركيبية على x − 2 تخفض الدرجة:

2 | 2 -3 -3 2 | 4 2 -2 ----------------- 2 1 -1 0

الخارج 2x² + x − 1 = (2x − 1)(x + 1)، والجذور الثلاثة 2 و1/2 و−1. المرشح الذي لم نصفره، مثل 1، بقي خارج مجموعة الجذور رغم ظهوره في قائمة المبرهنة.

التعددية ليست جذرًا جديدًا

في (x − 1)²(x + 2) الجذر 1 مكرر مرتين، والجذر −2 بسيط. الصورة الموسعة x³ − 3x + 2 لا تُظهر هذا التكرار قبل التحليل. عدد الجذور المختلفة هنا اثنان، بينما الدرجة 3، ومجموع التعدديات 2 + 1 = 3.

التعددية تغيّر الرسم. الجذر ذو التعددية الفردية، مثل −2 هنا، يعبر عنده المنحنى محور السينات. والجذر ذو التعددية الزوجية، مثل 1، يجعل المنحنى يلمس المحور ويرتد، فلا يغيّر الجهة. لذلك لا تُنشئ التعددية نقطة تقاطع إضافية؛ التقاطع عند القيمة نفسها من x.

قيم هذه الدالة، وهي مراجعة بالتعويض المباشر: f(−3) = −16، وf(−2) = 0، وf(−1) = 4، وf(0) = 2، وf(1) = 0، وf(2) = 4. المنحنى سالب قبل −2، ثم موجب على جانبي الجذر المزدوج عند 1. هذا يوافق العبور مرة واحدة واللمس مرة واحدة.

كم جذرًا؟ السؤال لا يُجاب بإطلاق

لكثيرة حدود غير صفرية من الدرجة n، فوق الأعداد الحقيقية أو المركبة، لا يزيد عدد الجذور المختلفة على n. كثيرة الحدود الصفرية مستثناة، لأن كل عدد جذر لها. هذا حد أعلى للجذور المختلفة، لا وعدٌ بأن نرى n نقط قطع على المحور الحقيقي.

مبرهنة الأساس في الجبر تقول ما هو أدق وما هو أضيق في آن واحد. صيغتها العملياتية: كل كثيرة حدود غير ثابتة من الدرجة n، معاملاتها مركبة، لها جذر مركب واحد على الأقل. بتكرار نظرية العامل نصل إلى تحليل خطي تام:

فيكون لها n من الجذور المركبة عند احتساب التعددية، لا تكون بالضرورة مختلفة، ولا يلزم أن يكون أي منها حقيقيًا. الأعداد الحقيقية جزء من المركبة، فالجذر الحقيقي يُحتسب داخل هذه الجذور. أوبن ستاكس يعرض المبرهنة في صورة «جذر مركب واحد على الأقل»، ثم يبني عليها التحليل الخطي الكامل وعدد الجذور مع التعددية. هذا هو المحتوى الذي يجوز نقله، لا الصيغة المختصرة «لكل كثيرة حدود n من الجذور» من غير قيد.

إذا كانت المعاملات حقيقية، فإن الجذر غير الحقيقي لا يأتي وحده. إن كان a + bi جذرًا وb ≠ 0، فإن مرافقه a − bi جذر بالتعددية نفسها. لذلك يكون عدد الجذور غير الحقيقية زوجيًا. مثال جاهز: x³ + 4x − 5. التعويض يُظهر أن 1 جذر، والتحليل

(x − 1)(x² + x + 5)

يترك عاملًا تربيعيًا مميزه 1 − 20 = −19. الجذر الحقيقي واحد، والجذران الآخران مركبان مترافقان، ومجموع التعدديات 3. المعادلة من النوع الذي درسه الجبر القديم بصورة «مكعب وجذور تساوي عددًا»، لكن الجذران غير الحقيقيين لا يظهران في بناء هندسي محصور في الأطوال الموجبة.

حين يتغير معامل واحد، لا تتحرك الجذور بالتساوي

الجذور في التمارين المعتادة تخرج أعدادًا صحيحة، فيبدو العبور من المعاملات إلى الجذور طريقًا آمنًا في الاتجاهين. المثال الآتي، وهو حساب أجريناه على كثيرة حدود معروفة الجذور، يُظهر أن الأمان ليس تلقائيًا.

كثيرة الحدود (x − 1)(x − 2)(x − 3) تساوي في صورتها الموسعة

x³ − 6x² + 11x − 6،

وجذورها 1 و2 و3، كلها بسيطة. نُبقي سائر المعاملات، ونضع محل معامل x²، وهو −6، المقدار −6 + ε. عند ε = 0.01 تصبح المعادلة

x³ − 5.99x² + 11x − 6 = 0.

جذورها المحسوبة، بعد تقريبها إلى أربعة أرقام عشرية، هي 0.9951 و2.0418 و2.9532. إعادة التعويض في المعادلة المضطربة تعطي بواقي في حدود 10⁻¹⁵، أي عند مستوى دقة الحساب العشري المضاعف، لا بواقي ظاهرة. الجذر الذي كان 1 تحرك بنحو 0.0049، والذي كان 2 تحرك بنحو 0.0418، والذي كان 3 تحرك بنحو 0.0468. أكبر إزاحة هنا تقارب 9.5 أضعاف أصغر إزاحة، مع أن الاضطراب واحد.

لمن يعرف المشتقة، التقدير الخطي عند جذر بسيط r لاضطراب في معامل x² هو

وفي هذا المثال P′(x) = 3x² − 12x + 11، فقيمها عند 1 و2 و3 هي 2 و−1 و2. حساسيات الجذور الثلاثة، أي القيم المطلقة |r² / P′(r)|، هي 0.5 و4 و4.5. نسبة حساسية الجذر 3 إلى حساسية الجذر 1 تساوي 9، وهي قريبة من نسبة الإزاحتين المحسوبتين 9.5. الفرق متوقع لأن التقدير خطي. وعند تصغير الاضطراب إلى ε = 0.001 تصبح الجذور المحسوبة 0.9995 و2.0040 و2.9955، وتلتصق بالتقدير 0.9995 و2.004 و2.9955 حتى الخانة الرابعة. كلما صغر الاضطراب ضاق الفرق بين التقدير والجذر الفعلي، وهذا سلوك التقدير من الرتبة الأولى لا مصادفة عددية.

يركّز التمرين المعتاد على جذور صحيحة مستخرجة من معاملات صغيرة، فيبدو الانتقال بين الصورة الموسعة والصورة العاملية متعادلًا في الاتجاهين. الحساب السابق يبيّن حدًا أضيق: اضطراب معامل واحد لا يوزَّع على الجذور بالتساوي، بل يُضخَّم بحسب موضع الجذر ومشتقة كثيرة الحدود عنده. في الدرجة الثالثة بقي الأثر في الجزء من المئة. الآلية نفسها هي التي تجعل استرجاع الجذور من المعاملات الموسعة مسألة سيئة التكييف في أمثلة أعلى، وعلى رأسها كثيرة حدود ويلكينسون، وهي كثيرة الحدود الأحادية من الدرجة 20 التي جذورها الأعداد من 1 إلى 20. اضطراب صغير في معاملاتها الموسعة قد يزيح بعض الجذور إزاحة كبيرة أو يخرجها من الأعداد الحقيقية، رغم أن الجذور الأصلية بسيطة ومتباعدة. العبرة ليست أن التحليل خطأ، بل أن الصورة الموسعة قد تخفي حساسية لا تراها العين وهي تنظر إلى العوامل (x − 1)(x − 2)(x − 3).

اقرأ أيضاً:

• الخوارزمي: السيرة الشاملة لمؤسس علم الجبر وأب الخوارزميات التي غيرت العالم
• تكييف المصفوفة (Matrix Conditioning): المفهوم، القياس، والتطبيقات

معامل x¹⁹ في صورة ويلكينسون الموسعة يساوي −(1 + 2 + ⋯ + 20) = −210. هذا الحساب وحده لا يقيس مقدار الإزاحة، لكنه يذكّر بأن معاملات الصورة الموسعة تنمو سريعًا حتى حين تبقى الجذور أعدادًا صحيحة متجاورة. مناقشة ويلكينسون لهذه الظاهرة، كما تلخص ذلك موسوعة ماث وورلد، تفصل بين تكييف المسألة واستقرار خوارزمية بعينها: قد تكون الخوارزمية سليمة والمسألة نفسها هشّة.

الدالة كثيرة الحدود ومنحناها

من التعبير إلى الدالة

نكتب f(x) = P(x) حين نريد أن ننظر إلى المخرجات لا إلى التعبير وحده. في مقرر الدوال الحقيقية يكون المجال المعتاد كل الأعداد الحقيقية، لأن كثيرة الحدود الحقيقية لا مقام فيها ينعدم، ولا جذر تربيعي لمتغير يقيّد مجالها. المدخل a يعطي القيمة f(a)، والجذر هو المدخل الذي تكون قيمته صفرًا. الثابتة f(x) = 5 خط أفقي. الخطية f(x) = 2x + 1 مستقيم. التربيعية قطع مكافئ. التكعيبية، مثل f(x) = x³ − 3x + 2 التي مرت قبل قليل، منحنى يتجه طرفاه إلى جهتين مختلفتين.

الرسم البياني لدالة كثيرة الحدود منحنٍ متصل أملس: لا قفزات ولا زوايا حادة. هذا يميّزه من رسم y = 1/x ومن رسم y = |x|، وهما ليسا رسمين لدوال كثيرات حدود.

طرفا المنحنى والمعامل الرئيس

سلوك الطرفين، أي ما يحدث حين يكبر x كثيرًا في الاتجاه الموجب أو السالب، تحدده زوجية الدرجة وإشارة المعامل الرئيس، لا بقية الحدود. الحد الأعلى يغلب البقية عند القيم الكبيرة.

الدرجة الثالثة ذات المعامل الموجب، مثل x³ − 3x + 2، تبدأ من الأسفل على اليسار وتنتهي إلى الأعلى على اليمين. القطع المكافئ x² يصعد من الجهتين، بينما −x² يهبط من الجهتين. هذه معلومات عن الطرفين فقط. معاملات الحدود الأدنى تحرك الانحناءات في الوسط، فلا يكفي المعامل الرئيس لرسم المنحنى كاملًا.

التقاطع مع محور السينات

نقاط التقاطع مع محور السينات هي الجذور الحقيقية، لا كل الجذور المركبة. في f(x) = (x − 1)²(x + 2) نقطتان: x = −2 حيث يعبر المنحنى، وx = 1 حيث يلمس ويعود. التحليل إلى عوامل هو الذي يفسر الفرق قبل أن يُرسم المنحنى نقطة نقطة. التقاطع مع محور الصادات هو f(0)، أي الحد الثابت في الصورة القياسية. هنا f(0) = 2.

إذا تغيّرت إشارة f بين عددين، فإن اتصال الدالة كثيرة الحدود يضمن جذرًا واحدًا على الأقل بينهما. هذا وجود، لا تحديد لقيمة الجذر ولا لعدد الجذور داخل الفترة.

نقاط التحول وما يُراجع في الرسم

نقطة التحول، في هذا السياق، موضع يغيّر فيه المنحنى اتجاهه من صعود إلى هبوط أو العكس. لدالة كثيرة حدود من الدرجة n غير الثابتة، عدد نقاط التحول لا يتجاوز n − 1. قد يكون أقل. المستقيم، وهو من الدرجة الأولى، لا نقطة تحول له، والحد الأقصى المسموح به 1 − 1 = 0. والتكعيبية لا تزيد نقاط تحولها على اثنتين.

في المثال f(x) = x³ − 3x + 2 تعطي المشتقة f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) صفرين عند x = −1 وx = 1. المشتقة موجبة خارج هاتين النقطتين وسالبة بينهما، فهناك ارتفاع حتى f(−1) = 4، ثم هبوط حتى f(1) = 0، ثم ارتفاع. نقطة التحول العليا (−1, 4)، والدنيا (1, 0) وهي نفسها نقطة اللمس. من لم يدرس المشتقة يستطيع أن يرسم شكلًا منسجمًا مع الدرجة، وإشارة المعامل الرئيس، والجذور وتعدديتها، وجدول قيم صغير، ويسمّي رسمه تقريبيًا. تحديد إحداثيات التحول بدقة يحتاج أداة إضافية، والتفاضل أحدها لا الوحيد في الحساب العددي.

مراجعة أي رسم، تقريبيًا كان أو أدق، تسير على هذا الترتيب: الدرجة والمعامل الرئيس لطرفي المنحنى، ثم الجذور الحقيقية وتعددياتها لنوع التقاطع، ثم f(0) وبعض القيم، ثم التأكد من أن عدد الانعطافات الاتجاهية لا يكسر حد n − 1. الرسم الذي يخالف أحد هذه القيود يخالف الدالة، وإن بدا انسيابيًا.

أين تُستخدم، وأين يتوقف النموذج؟

من مساحة مستطيل إلى معادلة تكعيبية

إذا كان عرض مستطيل x وطوله x + 3، فالمساحة A(x) = x(x + 3) = x² + 3x. هذه كثيرة حدود لأن كلًّا من البعدين كثيرة حدود في x، والضرب يحفظ الصنف. لو كان أحد البعدين 1/x لخرجت المساحة من كثيرات الحدود. الانتقال من نص المسألة إلى التعبير هو نفسه في مسائل حجم الصندوق المفتوح: ننقص من لوحة مربعة مربعات صغيرة متساوية من الزوايا ونطوي، فيظهر حجم على صورة كثيرة حدود تكعيبية في ضلع المربع المقصوص، ضمن هندسة المسألة لا خارجها.

وقبل أن تُكتب صيغ الجذور التكعيبية في عصر النهضة الأوروبية، بنى عمر الخيام، المولود في نيسابور سنة 1048 والمتوفى فيها سنة 1131، معالجة هندسية منظمة للمعادلات التكعيبية. خلاصة ما يثبته أرشيف ماكتيوتور لتاريخ الرياضيات أنه وضع في رسالته في الجبر، المعروفة بعنوان Treatise on Demonstration of Problems of Algebra، تصنيفًا كاملًا للمعادلات التكعيبية وحلولًا هندسية لها بتقاطع قطوع مخروطية، وأنه رأى في حل التكعيبي حاجة إلى القطوع لا إلى المسطرة والفرجار وحدهما. هذا مثال من تاريخ الرياضيات في المشرق على السؤال نفسه الذي ما زال الدرس يطرحه: كيف نمسك بمعادلة درجتها أعلى من اثنتين؟ الفرق أن علاج الخيام هندسي، مرتبط بأطوال وبناءات، بينما تحليل العوامل ونظرية الجذور اللاحق يعالجان التعبير نفسه جبرًا، ويدخلان الجذور المركبة التي لا تمثل أطوالًا.

المعادلة x³ + 4x = 5 توضيح معاصر لصنف «مكعب وجذور تساوي عددًا»، لا نقلًا لبند من رسالة الخيام. الجذر x = 1 يصفّرها، والتحليل (x − 1)(x² + x + 5) يُظهر أن الجذر الحقيقي الوحيد هو 1. ما كان البناء الهندسي الكلاسيكي يطلبه، في مثل هذا الصنف، طولًا موجبًا يحقق المعادلة. ما يضيفه الجبر اللاحق هو الجذران الآخران، وهما غير حقيقيين، وحساب التعددية، وإمكان نقل المسألة إلى معاملات ليست كلها موجبة.

نماذج فيزيائية مشروطة

تحت تسارع ثقالي ثابت، ومع إهمال مقاومة الهواء، يكون الارتفاع الرأسي لمقذوف على الصورة

وهذه كثيرة حدود من الدرجة الثانية في الزمن. المعادلة مشهورة لأنها تُعلّم القطع المكافئ، لا لأنها قانون حركة كامل.

حد النموذج: اللحظة التي تُعاد فيها مقاومة الهواء، أو يتوقف فيها افتراض ثبات g، يخرج الارتفاع عادة من كثيرات الحدود. صلاحية المعادلة صلاحية فرضياتها ووحداتها ومجال الزمن الذي تُقارَن فيه بالرصد، لا صلاحية شكلها الجبري وحده.

اقرأ أيضاً:

• حل المعادلات التربيعية: الطرق، الأمثلة، والتطبيقات
• قوانين نيوتن الثلاثة للحركة: الأساس، التطبيقات، والأهمية

على هذا النمط تُبنى كثيرات حدود في الهندسة التطبيقية لوصف انحناء أو إزاحة ضمن نظرية مبسطة، مثل نظريات الجوائز الخطية تحت فروض صغيرة في التشوه. الاسم «كثير حدود» في النموذج لا يعني أن المادة تطيع التعبير خارج مدى الفرض.

الاستيفاء غير التقريب

الاستيفاء كثير الحدود يعني بناء كثيرة حدود تمر بنقاط معطاة تمامًا. إذا كانت الإحداثيات الأفقية للنقاط مختلفة، فهناك كثيرة حدود واحدة درجتها لا تتجاوز n تمر بـ n + 1 من النقاط. التقريب أضعف شرطًا وأوسع حرية: نطلب قربًا من البيانات، لا مرورًا حتميًا بكل نقطة.

المرور بكل النقاط ليس دائمًا فضيلة. ظاهرة رونج مثال كلاسيكي: رفع درجة الاستيفاء على نقاط متساوية البعد في فترة مثل [−1, 1]، للدالة 1/(1 + 25x²)، يزيد التذبذب قرب الطرفين بدل أن يخمده. الدرس هنا منهجي. كثيرات الحدود أداة استيفاء قوية لأن مشتقاتها من كل الرتب موجودة وحسابها مستقر رمزيًا، لكنها ليست الخيار الأحسن لكل جدول بيانات. خارج الفترة التي بُني عليها الاستيفاء قد ينطلق المنحنى بعيدًا عن الظاهرة، لأن سلوك الطرفين يحكمه الحد الأعلى لا ميل البيانات في الوسط.

في الحساب وتصحيح الأخطاء

في الحساب الرمزي تُخزَّن كثيرة الحدود قائمة معاملات، فتصبح عمليات الجمع والضرب والقسمة خوارزميات على هذه القوائم، لا إعادة كتابة يدوية. وفي تصحيح الأخطاء تُستخدم كثيرات حدود فوق حقول منتهية، لا فوق الأعداد الحقيقية: رموز ريد-سولومون، على سبيل المثال، تقوم على تقييم كثيرات حدود في حقل منتهٍ، وتظهر في تقنيات تخزين ونقل يهمّها اكتشاف الخطأ لا رسم منحنى. الفكرة كافية في هذا المقام؛ تفصيل بناء الرمز وحجم الحقل موضوع مستقل في نظرية الترميز.

ما يجمع هذه الاستعمالات ليس أن «كل علاقة في الطبيعة كثيرة حدود»، بل أن كثيرة الحدود ما تُحسب وما تُحَلَّل وما يُتحكم في خطئها داخل فرض معلن. حين يسقط الفرض تسقط المطابقة، ويبقى الكائن الجبري كما هو.

مفاهيم تُخلط كثيرًا بحقيقة كثيرة الحدود

❌ الخرافة: كل تعبير فيه متغير كثيرة حدود.

✅ الحقيقة: التعريف يشترط عددًا منتهيًا من الحدود وأسُسًا صحيحة غير سالبة. 1/x و√x + 2 وx^(3/2) تعبيرات جبرية مفيدة، وليست كثيرات حدود في x.

❌ الخرافة: الدرجة هي عدد الحدود.

✅ الحقيقة: الدرجة أكبر أس بعد التبسيط، وعدد الحدود تصنيف آخر. x³ + 1 ثنائية حد ودرجتها 3. و5x² + 3x − 5x² + 7 تُكتب وفيها درجة ثانية، ثم تصبح خطية بعد الدمج.

❌ الخرافة: كل كثيرة حدود تتحلل إلى عوامل أبسط.

✅ الحقيقة: قابلية التحليل تتبع مجموعة المعاملات. x² − 2 لا تتفكك فوق الأعداد النسبية إلى عوامل خطية ذات معاملات نسبية، وتتفكك فوق الحقيقية إلى (x − √2)(x + √2). وx² + 1 لا تتفكك فوق الحقيقية، وتتفكك فوق المركبة إلى (x − i)(x + i).

❌ الخرافة: لكثيرة الحدود من الدرجة n عدد n من الجذور الحقيقية المختلفة.

✅ الحقيقة: الحد الصحيح ذو شقين. فوق المركبة هناك n جذرًا عند احتساب التعددية، لا بالضرورة مختلفة. وعلى المحور الحقيقي قد يكون العدد أقل، وقد يلامس جذر مكرر المحور من غير أن يضيف نقطة تقاطع جديدة. x² + 1 درجتها 2 وليس لها جذر حقيقي.

❌ الخرافة: قسمة كثيرتي حدود تنتج دائمًا كثيرة حدود.

✅ الحقيقة: القسمة التامة هي حالة الباقي الصفري. x² + 1 مقسومة على x − 1 تساوي x + 1 + 2/(x − 1). الخارج هنا كثيرة حدود، أما ناتج القسمة مكتوبًا على صورة كسر فليس كثيرة حدود.

ما الذي لا يظهر في تمرين الحساب وحده؟

درجة المجموع ودرجة الجداء

درجة المجموع لا تتجاوز أكبر الدرجتين، وقد تنخفض إذا ألغى الحدان الرئيسان أحدهما الآخر. (x² + 1) + (−x² + x) = x + 1، فدرجتان متساويتان أنتجتا درجة أدنى. درجة الجداء، لغير الصفريتين وفوق الأعداد المألوفة، تساوي مجموع الدرجتين، والمعامل الرئيس للناتج هو حاصل ضرب المعاملين الرئيسين. لهذا لا تنخفض درجة الجداء مصادفة في الحساب الحقيقي، بينما تنخفض درجة المجموع لأسباب مرئية في المعاملات.

اصطلاح الدرجة −∞ لكثيرة الحدود الصفرية جُعل حتى تبقى هاتان العلاقتان ساريتين من غير استثناء: جمع أي درجة عادية مع −∞ يساوي −∞، و−∞ أصغر من كل درجة عادية. من لا يستخدم هذا الاصطلاح يلزمه أن يقول «لغير الصفرية» في كل قاعدة درجة. المهم إعلان الخيار.

القسمة الإقليدية

خوارزمية القسمة التي كُتبت على صورة P = DQ + R هي القسمة الإقليدية في حلقة كثيرات الحدود فوق حقل. فوق هذا الحقل، الخارج والباقي وحيدان متى شُترط أن تكون درجة الباقي أصغر من درجة المقسوم عليه أو أن يكون الباقي صفرًا. نظرية الباقي ونظرية العامل نتيجتان مباشرتان حين يكون المقسوم عليه x − a، لا قاعدتان معلقتان في الهواء. وإذا كانت المعاملات أعدادًا صحيحة، ولم يكن المعامل الرئيس للمقسوم عليه مساويًا 1 أو −1، فقد لا يبقى الخارج داخل الأعداد الصحيحة، وننتقل إلى معاملات نسبية حتى تصح القسمة بالصورة المعتادة. لهذا تُذكر مجموعة المعاملات مع القسمة كما تُذكر مع التحليل.

الاختزال يتبع المجموعة

يقال عن كثيرة حدود غير ثابتة إنها غير قابلة للاختزال فوق مجموعة معاملات إذا لم تُكتب حاصل ضرب كثيرتي حدود من درجة أدنى داخل تلك المجموعة. x² − 2 غير قابلة للاختزال فوق النسبية، وقابلة فوق الحقيقية. x² + 1 غير قابلة للاختزال فوق الحقيقية، وقابلة فوق المركبة. لا تناقض بين الحكمين، لأن السؤال تغيّر. مبرهنة الأساس تعني أن كل كثيرة حدود غير ثابتة فوق الأعداد المركبة تتفكك إلى عوامل خطية. فوق الأعداد النسبية تبقى هناك كثيرات حدود، من الدرجة الثانية وما فوقها، لا تتفكك داخل النسبية، وإن كان لها جذور في حقل أوسع. وليس كل ما درجته أعلى من 1 كذلك؛ فـ x² − 1 = (x − 1)(x + 1) تتفكك فوق النسبية نفسها.

ما الذي تثبته مبرهنة الأساس، وما الذي لا تثبته؟

تثبت وجود تحليل خطي فوق المركبة، وتثبت أن عدد الجذور مع التعددية يساوي الدرجة. لا تثبت أن كل هذه الجذور حقيقية، ولا أنها مختلفة، ولا أنها قابلة للاستخراج بصيغة جذرية بسيطة. ليست كل معادلة من الدرجة الخامسة فما فوق قابلة لحل عام بالجذور على طريقة المعادلة التربيعية. هذا الامتناع، المعروف بنتيجة أبيل وروفيني، يُفهم اليوم في إطار نظرية غالوا، وهو خارج الحساب المدرسي، لكن ذكره يمنع قراءة مبرهنة الأساس كأنها وعد بصيغة جاهزة. المبرهنة وجود وتحليل، لا خوارزمية تُخرج الجذر بصيغة جاهزة.

وفوق الحقول المنتهية يظهر فرق آخر بين التعبير والدالة، وهو فرق لا يُرى في الأعداد الحقيقية. في الحقل ذي q عنصرًا تتحقق المساواة a^q = a لكل عنصر a، فالدالة التي يعرّفها التعبير x^q − x هي دالة الصفر، بينما التعبير نفسه ليس كثيرة الحدود الصفرية لأن معاملاته ليست كلها صفرًا. كثيرتان مختلفتان قد تعرّفان الدالة نفسها. في الأعداد الحقيقية لا يحدث هذا: إذا انعدمت دالة كثيرة الحدود على فترة، أو على عدد من النقاط أكبر من درجتها، فهي كثيرة الحدود الصفرية. التمييز بين التعبير والدالة، الذي بدأ من x² − 4، يعود هنا بصورة أحدّ.

التوصية العلمية من موقعنا

• لا تُسمِّ الدرجة قبل دمج الحدود المتشابهة. إلغاء الحد الأعلى يغيّر الدرجة تغييرًا حقيقيًا، كما في 5x² + 3x − 5x² + 7، لا تجميلًا لكتابة مهملة. الحكم على النوع بعدد الحدود يخضع للترتيب نفسه.
• اذكر مجموعة المعاملات في كل حكم على التحليل. «غير قابلة للتحليل» وحدها جملة غير مكتملة. x² − 2 وx² + 1 يتبدلان بين الامتناع والإمكان حين ننتقل من النسبية إلى الحقيقية ثم إلى المركبة.
• افصل الجذر عن تعدديته وعن نقطة الرسم. الجذر المكرر قد يلامس محور السينات من غير أن يضيف تقاطعًا جديدًا، ومجموع التعدديات هو الذي يساوي الدرجة فوق المركبة، لا عدد النقاط التي تراها العين.
• اختبر مرشح الجذر النسبي بالتعويض قبل بناء الحل عليه. المبرهنة، حين تكون المعاملات صحيحة، تحصر المرشحين ولا تعتمدهم. P(1) = −2 في المثال 2x³ − 3x² − 3x + 2 أسقط مرشحًا كان ظاهرًا في القائمة.
• اكتب فرض النموذج إلى جانب المعادلة كثيرة الحدود. ارتفاع المقذوف تربيعي في الزمن تحت جاذبية ثابتة ومن غير مقاومة هواء. تغيير الفرض يغيّر صنف المعادلة، لا معاملًا فيها فقط.
• لا ترفع درجة الاستيفاء لمجرد أن النقاط زادت. على عقد متساوية البعد قد يكبر التذبذب قرب الأطراف، كما في ظاهرة رونج، فتكون كثيرة الحدود الأدنى درجة، أو طريقة تقريب لا تمر بكل النقاط، أصدق تمثيلًا للبيانات.
• إذا استُرجعت الجذور من معاملات موسعة، فانظر إلى تكييف المسألة. في (x − 1)(x − 2)(x − 3) حرّك تغيير معامل x² بمقدار 0.01 الجذرَ الثالث نحو تسعة أضعاف ما حرّك الجذر الأول. كثيرة حدود ويلكينسون تذكّر بأن هذا التفاوت قد يصبح كبيرًا في الدرجات الأعلى، حتى مع جذور أصلية بسيطة.

خلاصة

كثيرة الحدود تعبير منتهٍ مضبوط الأسس، لا اسم عام لكل ما يُكتب برموز. درجتها، بعد التبسيط، ومعاملها الرئيس، ونوع حدودها، تحدد ما يمكن فعله بها: جمعًا وطرحًا وضربًا داخل الصنف نفسه، وقسمة قد تترك باقيًا، وتحليلًا يرتبط بجذور المعادلة عبر نظريتي الباقي والعامل. عدد الجذور لا يُقرأ من الدرجة قراءة واحدة؛ فهناك حد للجذور الحقيقية المختلفة، وعدد مركّب يساوي الدرجة عند احتساب التعددية، وازدواج للمرافقات حين تكون المعاملات حقيقية.

يبقى قيدان لا يحسن إسقاطهما. الأول أن قابلية التحليل وشكل الجذور يتبعان مجموعة الأعداد التي نسمح بها. والثاني أن العبور العددي من المعاملات الموسعة إلى الجذور قد يكون حساسًا، وأن استعمال كثيرة الحدود نموذجًا لمساحة أو حركة أو بيانات مشروط بفرض يصرّح به الكاتب. من يفصل التعبير عن الدالة عن المعادلة، ويفصل عدد الحدود عن الدرجة، ويفصل الجذر عن العامل، يستطيع أن يقرأ ما وراء ذلك من غير أن يعامل كل صيغة جبرية معاملة واحدة.

المصادر والمراجع