تمارين
تمارين ومسائل محلولة عن الكسور: كيف تحل أصعب المسائل بثقة؟
هل تتعثر في الكسور والأعداد العشرية رغم المحاولات المتكررة؟
100%
إليك 30 تمريناً ومسألة حول الكسور، مقسمة إلى ثلاثة مستويات (مبتدئ، متوسط، متقدم) تتدرج في الصعوبة لتناسب الجميع.
المستوى الأول: أساسيات الكسور (مبتدئ)
التمرين 1: تبسيط الكسور
السؤال: بسّط الكسر التالي إلى أبسط صورة: $\frac{24}{36}$
الحل:
نبحث عن القاسم المشترك الأكبر للعددين $24$ و $36$، وهو $12$.
$\frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$
نبحث عن القاسم المشترك الأكبر للعددين $24$ و $36$، وهو $12$.
$\frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$
التمرين 2: الكسور المتكافئة
السؤال: أوجد قيمة $x$ في المعادلة التالية: $\frac{3}{4} = \frac{x}{12}$
الحل:
بما أن المقام $4$ ضُرب في $3$ ليصبح $12$، يجب ضرب البسط في نفس العدد:
$x = 3 \times 3 \implies x = 9$
بما أن المقام $4$ ضُرب في $3$ ليصبح $12$، يجب ضرب البسط في نفس العدد:
$x = 3 \times 3 \implies x = 9$
التمرين 3: جمع الكسور (مقامات موحدة)
السؤال: احسب ناتج: $\frac{3}{8} + \frac{2}{8}$
الحل:
بما أن المقامات متساوية، نجمع البسطين فقط:
$\frac{3 + 2}{8} = \frac{5}{8}$
بما أن المقامات متساوية، نجمع البسطين فقط:
$\frac{3 + 2}{8} = \frac{5}{8}$
التمرين 4: جمع الكسور (أحد المقامات مضاعف للآخر)
السؤال: احسب ناتج: $\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$
الحل:
نوحد المقامات بجعل مقام الكسر الأول $4$ (نضرب البسط والمقام في $2$):
$\frac{1 \times 2}{2 \times 2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$
نوحد المقامات بجعل مقام الكسر الأول $4$ (نضرب البسط والمقام في $2$):
$\frac{1 \times 2}{2 \times 2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$
التمرين 5: طرح الكسور (مقامات مختلفة)
السؤال: احسب ناتج: $\frac{5}{6} – \frac{1}{4}$
الحل:
المضاعف المشترك الأصغر للمقامين $6$ و $4$ هو $12$.
$\frac{5 \times 2}{6 \times 2} – \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} – \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$
المضاعف المشترك الأصغر للمقامين $6$ و $4$ هو $12$.
$\frac{5 \times 2}{6 \times 2} – \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} – \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$
التمرين 6: مقارنة الكسور
السؤال: أي الكسرين أكبر: $\frac{3}{5}$ أم $\frac{4}{7}$ ؟
الحل:
نستخدم طريقة الضرب التبادلي:
$3 \times 7 = 21$
$5 \times 4 = 20$
بما أن $21 > 20$، فإن: $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$
نستخدم طريقة الضرب التبادلي:
$3 \times 7 = 21$
$5 \times 4 = 20$
بما أن $21 > 20$، فإن: $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$
التمرين 7: تحويل العدد الكسري إلى كسر غير فعلي
السؤال: حوّل العدد الكسري $3\frac{2}{5}$ إلى كسر غير فعلي.
الحل:
نضرب العدد الصحيح في المقام ونضيف البسط:
$\frac{(3 \times 5) + 2}{5} = \frac{15 + 2}{5} = \frac{17}{5}$
نضرب العدد الصحيح في المقام ونضيف البسط:
$\frac{(3 \times 5) + 2}{5} = \frac{15 + 2}{5} = \frac{17}{5}$
التمرين 8: تحويل الكسر غير الفعلي إلى عدد كسري
السؤال: حوّل الكسر $\frac{17}{4}$ إلى عدد كسري.
الحل:
نقسم البسط على المقام: $17 \div 4 = 4$ والباقي $1$.
الناتج: $4\frac{1}{4}$
نقسم البسط على المقام: $17 \div 4 = 4$ والباقي $1$.
الناتج: $4\frac{1}{4}$
التمرين 9: ضرب كسر في عدد صحيح
السؤال: احسب ناتج: $5 \times \frac{2}{3}$
الحل:
نعتبر العدد الصحيح كسراً مقامه $1$، ثم نضرب البسط في البسط والمقام في المقام:
$\frac{5}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$ (أو $3\frac{1}{3}$)
نعتبر العدد الصحيح كسراً مقامه $1$، ثم نضرب البسط في البسط والمقام في المقام:
$\frac{5}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$ (أو $3\frac{1}{3}$)
التمرين 10: مسألة طرح بسيطة
السؤال: بيتزا مقسمة إلى $8$ قطع متساوية، أكل منها شخص $3$ قطع. ما هو الكسر الذي يمثل الجزء المتبقي؟
الحل:
البيتزا الكاملة تمثل $\frac{8}{8}$.
الجزء المتبقي = $\frac{8}{8} – \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$
البيتزا الكاملة تمثل $\frac{8}{8}$.
الجزء المتبقي = $\frac{8}{8} – \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$
المستوى الثاني: العمليات المتقدمة والمسائل (متوسط)
التمرين 11: ضرب الكسور
السؤال: احسب ناتج: $\frac{4}{9} \times \frac{3}{8}$
الحل:
نختصر قبل الضرب (نقسم $4$ و $8$ على $4$، ونقسم $3$ و $9$ على $3$):
$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1 \times 1}{3 \times 2} = \frac{1}{6}$
نختصر قبل الضرب (نقسم $4$ و $8$ على $4$، ونقسم $3$ و $9$ على $3$):
$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1 \times 1}{3 \times 2} = \frac{1}{6}$
التمرين 12: قسمة الكسور
السؤال: احسب ناتج: $\frac{5}{7} \div \frac{10}{21}$
الحل:
نحول القسمة إلى ضرب في المقلوب:
$\frac{5}{7} \times \frac{21}{10}$
بالتبسيط (نقسم $5$ و $10$ على $5$، و $7$ و $21$ على $7$):
$\frac{1}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ (أو $1\frac{1}{2}$)
نحول القسمة إلى ضرب في المقلوب:
$\frac{5}{7} \times \frac{21}{10}$
بالتبسيط (نقسم $5$ و $10$ على $5$، و $7$ و $21$ على $7$):
$\frac{1}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ (أو $1\frac{1}{2}$)
التمرين 13: قسمة كسر على عدد صحيح
السؤال: احسب ناتج: $\frac{4}{5} \div 2$
الحل:
نحول العدد الصحيح إلى كسر مقامه $1$ ثم نضرب في المقلوب:
$\frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{10}$
بالتبسيط (نقسم على $2$): $\frac{2}{5}$
نحول العدد الصحيح إلى كسر مقامه $1$ ثم نضرب في المقلوب:
$\frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{10}$
بالتبسيط (نقسم على $2$): $\frac{2}{5}$
التمرين 14: جمع الأعداد الكسرية
السؤال: احسب ناتج: $2\frac{1}{3} + 1\frac{1}{2}$
الحل:
نحولها إلى كسور غير فعلية أولاً:
$\frac{(2 \times 3) + 1}{3} = \frac{7}{3}$ و $\frac{(1 \times 2) + 1}{2} = \frac{3}{2}$
نوحد المقامات (المقام المشترك $6$):
$\frac{14}{6} + \frac{9}{6} = \frac{23}{6}$ (أو $3\frac{5}{6}$)
نحولها إلى كسور غير فعلية أولاً:
$\frac{(2 \times 3) + 1}{3} = \frac{7}{3}$ و $\frac{(1 \times 2) + 1}{2} = \frac{3}{2}$
نوحد المقامات (المقام المشترك $6$):
$\frac{14}{6} + \frac{9}{6} = \frac{23}{6}$ (أو $3\frac{5}{6}$)
التمرين 15: طرح الأعداد الكسرية (مع الاستلاف)
السؤال: احسب ناتج: $4\frac{1}{4} – 1\frac{3}{4}$
الحل:
بما أن $\frac{1}{4} < \frac{3}{4}$، نستلف $1$ من العدد الصحيح ($4$ تصبح $3$):
$1 = \frac{4}{4} \implies \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{5}{4}$
تصبح المسألة: $3\frac{5}{4} – 1\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{2}$
بما أن $\frac{1}{4} < \frac{3}{4}$، نستلف $1$ من العدد الصحيح ($4$ تصبح $3$):
$1 = \frac{4}{4} \implies \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{5}{4}$
تصبح المسألة: $3\frac{5}{4} – 1\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{2}$
التمرين 16: ترتيب العمليات
السؤال: احسب ناتج: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{4}$
الحل:
الضرب له الأولوية. نضرب أولاً:
$\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
ثم نجمع الناتج مع الكسر الأول:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
الضرب له الأولوية. نضرب أولاً:
$\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
ثم نجمع الناتج مع الكسر الأول:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
التمرين 17: مسألة مساحة
السؤال: مستطيل طوله $\frac{5}{2} \ m$ وعرضه $\frac{4}{3} \ m$. ما هي مساحته؟
الحل:
المساحة = الطول $\times$ العرض
$\frac{5}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{20}{6}$
بالتبسيط (نقسم على $2$): $\frac{10}{3} \ m^2$ (أو $3\frac{1}{3} \ m^2$)
المساحة = الطول $\times$ العرض
$\frac{5}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{20}{6}$
بالتبسيط (نقسم على $2$): $\frac{10}{3} \ m^2$ (أو $3\frac{1}{3} \ m^2$)
التمرين 18: مسألة مسافة
السؤال: مشى شخص مسافة $\frac{2}{5} \ km$، ثم ركض مسافة $\frac{3}{4} \ km$. ما إجمالي المسافة التي قطعها؟
الحل:
نجمع المسافتين (المقام المشترك $20$):
$\frac{2}{5} + \frac{3}{4} = \frac{8}{20} + \frac{15}{20} = \frac{23}{20} \ km$ (أو $1.15 \ km$)
نجمع المسافتين (المقام المشترك $20$):
$\frac{2}{5} + \frac{3}{4} = \frac{8}{20} + \frac{15}{20} = \frac{23}{20} \ km$ (أو $1.15 \ km$)
التمرين 19: كسر من كمية
السؤال: خزان سعته الإجمالية $60 \ L$. إذا كان ممتلئاً حتى $\frac{2}{3}$ من سعته، فما كمية السائل بداخله؟
الحل:
نضرب الكسر في السعة الإجمالية:
$V = \frac{2}{3} \times 60 = \frac{120}{3} = 40 \ L$
نضرب الكسر في السعة الإجمالية:
$V = \frac{2}{3} \times 60 = \frac{120}{3} = 40 \ L$
التمرين 20: تبسيط كسر مركب بسيط
السؤال: بسّط الكسر: $\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}$
الحل:
نحول خط الكسر الرئيسي إلى قسمة، ثم إلى ضرب في المقلوب:
$\frac{2}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{12}{15}$
بالتبسيط (نقسم على $3$): $\frac{4}{5}$
نحول خط الكسر الرئيسي إلى قسمة، ثم إلى ضرب في المقلوب:
$\frac{2}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{12}{15}$
بالتبسيط (نقسم على $3$): $\frac{4}{5}$
المستوى الثالث: الجبر والمسائل المعقدة (متقدم)
التمرين 21: الكسور المركبة المعقدة
السؤال: بسّط الكسر المركب التالي: $\frac{1}{1 + \frac{1}{2}}$
الحل:
نبسط المقام أولاً:
$1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
الآن نقسم البسط على المقام:
$\frac{1}{\frac{3}{2}} = 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$
نبسط المقام أولاً:
$1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
الآن نقسم البسط على المقام:
$\frac{1}{\frac{3}{2}} = 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$
التمرين 22: معادلات كسرية (ضرب تبادلي)
السؤال: أوجد قيمة $x$ في المعادلة: $\frac{2x – 1}{3} = \frac{x + 2}{4}$
الحل:
نستخدم الضرب التبادلي:
$4(2x – 1) = 3(x + 2)$
$8x – 4 = 3x + 6$
نطرح $3x$ من الطرفين ونضيف $4$ للطرفين:
$8x – 3x = 6 + 4 \implies 5x = 10 \implies x = 2$
نستخدم الضرب التبادلي:
$4(2x – 1) = 3(x + 2)$
$8x – 4 = 3x + 6$
نطرح $3x$ من الطرفين ونضيف $4$ للطرفين:
$8x – 3x = 6 + 4 \implies 5x = 10 \implies x = 2$
التمرين 23: معادلة كسرية من الدرجة الثانية
السؤال: أوجد قيم $x$ الممكنة في المعادلة: $\frac{x^2}{4} = 9$
الحل:
نضرب الطرفين في $4$:
$x^2 = 36$
نأخذ الجذر التربيعي للطرفين:
$x = 6$ أو $x = -6$
نضرب الطرفين في $4$:
$x^2 = 36$
نأخذ الجذر التربيعي للطرفين:
$x = 6$ أو $x = -6$
التمرين 24: جمع الكسور الجبرية
السؤال: بسّط المقدار الجبري التالي: $\frac{2}{x} + \frac{3}{y}$
الحل:
نوحد المقامات بجعل المقام المشترك $xy$:
الكسر الأول يُضرب في $\frac{y}{y}$ والكسر الثاني يُضرب في $\frac{x}{x}$:
$\frac{2y}{xy} + \frac{3x}{xy} = \frac{2y + 3x}{xy}$
نوحد المقامات بجعل المقام المشترك $xy$:
الكسر الأول يُضرب في $\frac{y}{y}$ والكسر الثاني يُضرب في $\frac{x}{x}$:
$\frac{2y}{xy} + \frac{3x}{xy} = \frac{2y + 3x}{xy}$
التمرين 25: تبسيط الكسور الجبرية (التحليل)
السؤال: بسّط المقدار الجبري التالي (بافتراض $x \neq 0, -3$): $\frac{x^2 – 9}{x^2 + 3x}$
الحل:
نحلل البسط (فرق بين مربعين) والمقام (أخذ عامل مشترك):
البسط: $x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)$
المقام: $x^2 + 3x = x(x + 3)$
الكسر بعد التحليل: $\frac{(x – 3)(x + 3)}{x(x + 3)}$
نختصر القوس المشترك $(x + 3)$ ليصبح الناتج: $\frac{x – 3}{x}$
نحلل البسط (فرق بين مربعين) والمقام (أخذ عامل مشترك):
البسط: $x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)$
المقام: $x^2 + 3x = x(x + 3)$
الكسر بعد التحليل: $\frac{(x – 3)(x + 3)}{x(x + 3)}$
نختصر القوس المشترك $(x + 3)$ ليصبح الناتج: $\frac{x – 3}{x}$
التمرين 26: قسمة الكسور الجبرية
السؤال: بسّط المقدار (بافتراض $x \neq 1, -1$): $\frac{x^2 – 1}{x + 1} \div \frac{x – 1}{2}$
الحل:
نحلل البسط الأول ونحول القسمة إلى ضرب:
$\frac{(x – 1)(x + 1)}{x + 1} \times \frac{2}{x – 1}$
نختصر $(x + 1)$ من الكسر الأول:
$(x – 1) \times \frac{2}{x – 1}$
نختصر $(x – 1)$ ليكون الناتج النهائي: $2$
نحلل البسط الأول ونحول القسمة إلى ضرب:
$\frac{(x – 1)(x + 1)}{x + 1} \times \frac{2}{x – 1}$
نختصر $(x + 1)$ من الكسر الأول:
$(x – 1) \times \frac{2}{x – 1}$
نختصر $(x – 1)$ ليكون الناتج النهائي: $2$
التمرين 27: مسألة مالية (راتب وخصومات)
السؤال: أنفق موظف $\frac{1}{3}$ راتبه على الإيجار، و $\frac{1}{4}$ راتبه على الطعام. إذا تبقى معه $500 \ \$ $، فما هو إجمالي راتبه ($S$)؟
الحل:
إجمالي ما أنفقه: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$
الكسر المتبقي من الراتب: $1 – \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$
$\frac{5}{12} \times S = 500 \implies S = 500 \times \frac{12}{5} \implies S = 100 \times 12 = 1200 \ \$ $
إجمالي ما أنفقه: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$
الكسر المتبقي من الراتب: $1 – \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$
$\frac{5}{12} \times S = 500 \implies S = 500 \times \frac{12}{5} \implies S = 100 \times 12 = 1200 \ \$ $
التمرين 28: مسألة خصم
السؤال: قميص عليه خصم يعادل $\frac{1}{5}$ من سعره الأصلي. إذا كان سعر البيع بعد الخصم هو $40 \ \$ $، فما هو سعره الأصلي ($P$)؟
الحل:
السعر بعد الخصم يمثل: $1 – \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ من السعر الأصلي.
$\frac{4}{5} P = 40 \implies P = 40 \times \frac{5}{4}$
$P = 10 \times 5 = 50 \ \$ $
السعر بعد الخصم يمثل: $1 – \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ من السعر الأصلي.
$\frac{4}{5} P = 40 \implies P = 40 \times \frac{5}{4}$
$P = 10 \times 5 = 50 \ \$ $
التمرين 29: مسألة العمل المشترك
السؤال: يمكن للعامل $A$ إنجاز مهمة في $3 \ h$، ويمكن للعامل $B$ إنجاز نفس المهمة في $6 \ h$. ما هو الوقت ($T$) اللازم لإنجاز المهمة إذا عملا معاً؟
الحل:
معدل إنجاز $A$ في الساعة = $\frac{1}{3}$. معدل إنجاز $B$ = $\frac{1}{6}$
معدل الإنجاز معاً: $\frac{1}{T} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
بقلب الكسرين: $T = 2 \ h$
معدل إنجاز $A$ في الساعة = $\frac{1}{3}$. معدل إنجاز $B$ = $\frac{1}{6}$
معدل الإنجاز معاً: $\frac{1}{T} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
بقلب الكسرين: $T = 2 \ h$
التمرين 30: مسألة الخزانات والأنابيب (ملء وتفريغ)
السؤال: أنبوب $A$ يملأ مسبحاً في $4 \ h$. وأنبوب $B$ يفرغ نفس المسبح في $6 \ h$. إذا تم فتح الأنبوبين معاً، كم ساعة ($T$) يحتاج المسبح ليمتلئ؟
الحل:
معدل الملء = $\frac{1}{4}$. معدل التفريغ = $-\frac{1}{6}$
المعدل الصافي: $\frac{1}{T} = \frac{1}{4} – \frac{1}{6}$
نوحد المقامات ($12$): $\frac{1}{T} = \frac{3}{12} – \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$
بقلب الكسرين: $T = 12 \ h$
معدل الملء = $\frac{1}{4}$. معدل التفريغ = $-\frac{1}{6}$
المعدل الصافي: $\frac{1}{T} = \frac{1}{4} – \frac{1}{6}$
نوحد المقامات ($12$): $\frac{1}{T} = \frac{3}{12} – \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$
بقلب الكسرين: $T = 12 \ h$
