تمارين ومسائل محلولة عن الكسور: كيف تحل أصعب المسائل بثقة؟

الحل:
نبحث عن القاسم المشترك الأكبر للعددين $24$ و $36$، وهو $12$.
$\frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$

الحل:
بما أن المقام $4$ ضُرب في $3$ ليصبح $12$، يجب ضرب البسط في نفس العدد:
$x = 3 \times 3 \implies x = 9$

الحل:
بما أن المقامات متساوية، نجمع البسطين فقط:
$\frac{3 + 2}{8} = \frac{5}{8}$

الحل:
نوحد المقامات بجعل مقام الكسر الأول $4$ (نضرب البسط والمقام في $2$):
$\frac{1 \times 2}{2 \times 2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$

الحل:
المضاعف المشترك الأصغر للمقامين $6$ و $4$ هو $12$.
$\frac{5 \times 2}{6 \times 2} – \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} – \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$

الحل:
نستخدم طريقة الضرب التبادلي:
$3 \times 7 = 21$
$5 \times 4 = 20$
بما أن $21 > 20$، فإن: $\frac{3}{5} > \frac{4}{7}$

الحل:
نضرب العدد الصحيح في المقام ونضيف البسط:
$\frac{(3 \times 5) + 2}{5} = \frac{15 + 2}{5} = \frac{17}{5}$

الحل:
نقسم البسط على المقام: $17 \div 4 = 4$ والباقي $1$.
الناتج: $4\frac{1}{4}$

الحل:
نعتبر العدد الصحيح كسراً مقامه $1$، ثم نضرب البسط في البسط والمقام في المقام:
$\frac{5}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$ (أو $3\frac{1}{3}$)

الحل:
البيتزا الكاملة تمثل $\frac{8}{8}$.
الجزء المتبقي = $\frac{8}{8} – \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$

الحل:
نختصر قبل الضرب (نقسم $4$ و $8$ على $4$، ونقسم $3$ و $9$ على $3$):
$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1 \times 1}{3 \times 2} = \frac{1}{6}$

الحل:
نحول القسمة إلى ضرب في المقلوب:
$\frac{5}{7} \times \frac{21}{10}$
بالتبسيط (نقسم $5$ و $10$ على $5$، و $7$ و $21$ على $7$):
$\frac{1}{1} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ (أو $1\frac{1}{2}$)

الحل:
نحول العدد الصحيح إلى كسر مقامه $1$ ثم نضرب في المقلوب:
$\frac{4}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{10}$
بالتبسيط (نقسم على $2$): $\frac{2}{5}$

الحل:
نحولها إلى كسور غير فعلية أولاً:
$\frac{(2 \times 3) + 1}{3} = \frac{7}{3}$ و $\frac{(1 \times 2) + 1}{2} = \frac{3}{2}$
نوحد المقامات (المقام المشترك $6$):
$\frac{14}{6} + \frac{9}{6} = \frac{23}{6}$ (أو $3\frac{5}{6}$)

الحل:
بما أن $\frac{1}{4} < \frac{3}{4}$، نستلف $1$ من العدد الصحيح ($4$ تصبح $3$):
$1 = \frac{4}{4} \implies \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{5}{4}$
تصبح المسألة: $3\frac{5}{4} – 1\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{2}$

الحل:
الضرب له الأولوية. نضرب أولاً:
$\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
ثم نجمع الناتج مع الكسر الأول:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

الحل:
المساحة = الطول $\times$ العرض
$\frac{5}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{20}{6}$
بالتبسيط (نقسم على $2$): $\frac{10}{3} \ m^2$ (أو $3\frac{1}{3} \ m^2$)

الحل:
نجمع المسافتين (المقام المشترك $20$):
$\frac{2}{5} + \frac{3}{4} = \frac{8}{20} + \frac{15}{20} = \frac{23}{20} \ km$ (أو $1.15 \ km$)

الحل:
نضرب الكسر في السعة الإجمالية:
$V = \frac{2}{3} \times 60 = \frac{120}{3} = 40 \ L$

الحل:
نحول خط الكسر الرئيسي إلى قسمة، ثم إلى ضرب في المقلوب:
$\frac{2}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{12}{15}$
بالتبسيط (نقسم على $3$): $\frac{4}{5}$

الحل:
نبسط المقام أولاً:
$1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
الآن نقسم البسط على المقام:
$\frac{1}{\frac{3}{2}} = 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

الحل:
نستخدم الضرب التبادلي:
$4(2x – 1) = 3(x + 2)$
$8x – 4 = 3x + 6$
نطرح $3x$ من الطرفين ونضيف $4$ للطرفين:
$8x – 3x = 6 + 4 \implies 5x = 10 \implies x = 2$

الحل:
نضرب الطرفين في $4$:
$x^2 = 36$
نأخذ الجذر التربيعي للطرفين:
$x = 6$ أو $x = -6$

الحل:
نوحد المقامات بجعل المقام المشترك $xy$:
الكسر الأول يُضرب في $\frac{y}{y}$ والكسر الثاني يُضرب في $\frac{x}{x}$:
$\frac{2y}{xy} + \frac{3x}{xy} = \frac{2y + 3x}{xy}$

الحل:
نحلل البسط (فرق بين مربعين) والمقام (أخذ عامل مشترك):
البسط: $x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)$
المقام: $x^2 + 3x = x(x + 3)$
الكسر بعد التحليل: $\frac{(x – 3)(x + 3)}{x(x + 3)}$
نختصر القوس المشترك $(x + 3)$ ليصبح الناتج: $\frac{x – 3}{x}$

الحل:
نحلل البسط الأول ونحول القسمة إلى ضرب:
$\frac{(x – 1)(x + 1)}{x + 1} \times \frac{2}{x – 1}$
نختصر $(x + 1)$ من الكسر الأول:
$(x – 1) \times \frac{2}{x – 1}$
نختصر $(x – 1)$ ليكون الناتج النهائي: $2$

الحل:
إجمالي ما أنفقه: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$
الكسر المتبقي من الراتب: $1 – \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$
$\frac{5}{12} \times S = 500 \implies S = 500 \times \frac{12}{5} \implies S = 100 \times 12 = 1200 \ \$ $

الحل:
السعر بعد الخصم يمثل: $1 – \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ من السعر الأصلي.
$\frac{4}{5} P = 40 \implies P = 40 \times \frac{5}{4}$
$P = 10 \times 5 = 50 \ \$ $

الحل:
معدل إنجاز $A$ في الساعة = $\frac{1}{3}$. معدل إنجاز $B$ = $\frac{1}{6}$
معدل الإنجاز معاً: $\frac{1}{T} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
بقلب الكسرين: $T = 2 \ h$

الحل:
معدل الملء = $\frac{1}{4}$. معدل التفريغ = $-\frac{1}{6}$
المعدل الصافي: $\frac{1}{T} = \frac{1}{4} – \frac{1}{6}$
نوحد المقامات ($12$): $\frac{1}{T} = \frac{3}{12} – \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$
بقلب الكسرين: $T = 12 \ h$