تحدي العباقرة: من أصعب مسائل الرياضيات مع حلولها المفصلة

المسألة 1: حساب التكامل (Calculus)

أوجد قيمة التكامل غير المحدد التالي:
integral(sqrt(tan(x))) dx

الحل:
هذا تكامل صعب يتطلب سلسلة من التعويضات الذكية.

1. نبدأ بالتعويض: u = sqrt(tan(x)), وبالتالي u^2 = tan(x), و 2u du = sec^2(x) dx.
2. نعيد كتابة dx بدلالة u:
   dx = (2u du) / sec^2(x) = (2u du) / (1 + tan^2(x)) = (2u du) / (1 + u^4).
3. يصبح التكامل: integral(u * (2u / (1 + u^4))) du = integral(2u^2 / (1 + u^4)) du.
4. نستخدم حيلة تفريق الكسور:
   2u^2 / (1 + u^4) = (u^2 + 1) / (u^4 + 1) + (u^2 - 1) / (u^4 + 1).
5. نحل كل تكامل على حدة. المقام u^4 + 1 يمكن تحليله إلى (u^2 - sqrt(2)u + 1)(u^2 + sqrt(2)u + 1).
6. بعد إجراء تكاملات طويلة (تتضمن arctan و ln) والتعويض العكسي، يكون الحل النهائي:

1/sqrt(2) * (arctan((sqrt(tan(x)) - 1/sqrt(tan(x))) / sqrt(2)) - ln((tan(x) - sqrt(2*tan(x)) + 1) / (tan(x) + sqrt(2*tan(x)) + 1))) + C

---

المسألة 2: نظرية الأعداد (Number Theory)

ما هما آخر رقمين (خانة الآحاد والعشرات) للعدد 7^9999؟

الحل:
المطلوب هو إيجاد قيمة 7^9999 mod 100.

1. نستخدم نظرية أويلر. دالة أويلر phi(n) تعطي عدد الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر من n والأولية نسبياً مع n.
2. phi(100) = phi(2^2 * 5^2) = phi(2^2) * phi(5^2) = (2^2 - 2^1) * (5^2 - 5^1) = 2 * 20 = 40.
3. تنص نظرية أويلر على أنه إذا كان gcd(a, n) = 1، فإن a^phi(n) = 1 (mod n).
4. بما أن gcd(7, 100) = 1، فإن 7^40 = 1 (mod 100).
5. الآن نبسط الأس 9999: 9999 = 40 * 249 + 39.
6. لذلك، 7^9999 = 7^(40*249 + 39) = (7^40)^249 * 7^39 = 1^249 * 7^39 = 7^39 (mod 100).
7. الآن نحسب 7^39 (mod 100). يمكننا كتابتها كـ 7^40 * 7^(-1) (mod 100). هذا يعني 1 * 7^(-1) (mod 100).
8. نحتاج لإيجاد المعكوس الضربي لـ 7 في mod 100. نبحث عن y بحيث 7y = 1 (mod 100).
9. باستخدام خوارزمية إقليدس الممتدة أو بالتجربة، نجد أن 7 * 43 = 301 = 1 (mod 100).
10. إذن 7^(-1) = 43 (mod 100).
11. 7^39 = 43 (mod 100).
    آخر رقمين هما 43.

---

المسألة 3: المتسلسلات اللانهائية (Infinite Series)

أوجد مجموع المتسلسلة التالية (مشكلة بازل):
sum from n=1 to infinity of (1 / n^2)

الحل:
هذه واحدة من أشهر المسائل في الرياضيات، وقد حلها ليونارد أويلر. الإثبات الدقيق معقد ويتطلب تحليل فورييه أو تحليل عقدي، ولكن النتيجة النهائية مشهورة.
المجموع هو: pi^2 / 6.

---

المسألة 4: التحليل العقدي (Complex Analysis)

احسب قيمة التكامل الحقيقي التالي باستخدام نظرية البقايا (Residue Theorem):
integral from -infinity to infinity of (1 / (x^4 + 1)) dx

الحل:

1. نعتبر التكامل العقدي integral over C of (1 / (z^4 + 1)) dz حيث C هو مسار نصف دائري في النصف العلوي من المستوى العقدي، يتكون من الخط الحقيقي من -R إلى R وقوس دائرة |z| = R.
2. أقطاب الدالة f(z) = 1 / (z^4 + 1) هي جذور z^4 = -1 = e^(i * (pi + 2k*pi)).
3. الجذور هي z_k = e^(i * (pi/4 + k*pi/2)) لـ k = 0, 1, 2, 3.
4. الأقطاب الموجودة داخل المسار (في النصف العلوي حيث الجزء التخيلي موجب) هي:
   z_0 = e^(i*pi/4) = (1+i)/sqrt(2)
z_1 = e^(i*3pi/4) = (-1+i)/sqrt(2)
5. نحسب البقايا (Residues) عند هذين القطبين. البقايا لأقطاب بسيطة z_k هي 1 / (4 * z_k^3).
   Res(f, z_0) = 1 / (4 * e^(i*3pi/4)) = (1/4) * e^(-i*3pi/4) = (1/4) * (-1-i)/sqrt(2)
Res(f, z_1) = 1 / (4 * e^(i*9pi/4)) = 1 / (4 * e^(i*pi/4)) = (1/4) * e^(-i*pi/4) = (1/4) * (1-i)/sqrt(2)
6. مجموع البقايا: (1/4) * ((-1-i)/sqrt(2) + (1-i)/sqrt(2)) = (1/4) * (-2i/sqrt(2)) = -i / (2*sqrt(2)).
7. حسب نظرية البقايا، قيمة التكامل على المسار المغلق C هي 2 * pi * i * (sum of residues).
   2 * pi * i * (-i / (2*sqrt(2))) = pi / sqrt(2).
8. عندما R -> infinity، التكامل على القوس الدائري يؤول إلى 0.
9. إذن، قيمة التكامل الحقيقي المطلوب هي pi / sqrt(2).

---

المسألة 5: المعادلات التفاضلية (Differential Equations)

جد الحل العام والحل المنفرد (singular solution) للمعادلة التفاضلية من نوع كليرو:
y = x * (dy/dx) - (dy/dx)^3

الحل:

1. نضع p = dy/dx. تصبح المعادلة y = xp - p^3.
2. نشتق بالنسبة لـ x:
   dy/dx = (d/dx)(xp - p^3)
p = 1*p + x*(dp/dx) - 3p^2*(dp/dx)
0 = (dp/dx) * (x - 3p^2)
3. هذا يعطينا حالتين:
   a) dp/dx = 0: هذا يعني p = C (ثابت). بالتعويض في المعادلة الأصلية، نحصل على الحل العام:
   y = Cx - C^3. هذه عائلة من الخطوط المستقيمة.
   b) x - 3p^2 = 0: هذا يعني x = 3p^2، أو p = +/- sqrt(x/3).
4. نعوض هذا p في المعادلة الأصلية y = xp - p^3 للحصول على الحل المنفرد:
   y = x * (+/- sqrt(x/3)) - (+/- sqrt(x/3))^3
y = +/- x*sqrt(x/3) -/+ (x/3)*sqrt(x/3)
y = +/- (2x/3)*sqrt(x/3)
   بتربيع الطرفين: y^2 = (4x^2/9) * (x/3) = 4x^3 / 27.
   إذن الحل المنفرد هو 27y^2 = 4x^3. هذا هو المنحنى الذي تكون عائلة الخطوط المستقيمة مماسة له.

---

المسألة 6: الجبر الخطي (Linear Algebra)

لتكن A مصفوفة n x n حيث كل مدخلاتها تساوي 1. أوجد قيمها الذاتية (eigenvalues) وناقلاتها الذاتية (eigenvectors) المقابلة.

الحل:

1. المصفوفة A هي A_ij = 1 لكل i, j.
2. لننظر إلى رتبة المصفوفة rank(A). كل الصفوف متطابقة، لذا rank(A) = 1.
3. بما أن rank(A) = 1، فإن فضاء العدم (null space) للمصفوفة A له بعد n-1.
4. فضاء العدم هو مجموعة كل المتجهات v بحيث Av = 0v. هذا يعني أن lambda = 0 هي قيمة ذاتية.
5. بما أن بعد فضاء العدم هو n-1، فإن التعدد الهندسي (geometric multiplicity) للقيمة الذاتية 0 هو n-1. وبالتالي، لدينا n-1 قيمة ذاتية تساوي 0.
6. مجموع القيم الذاتية لمصفوفة يساوي أثرها trace(A).
   trace(A) = sum(A_ii) = 1 + 1 + ... + 1 = n.
7. لدينا n-1 قيمة ذاتية تساوي 0. لتكن القيمة الذاتية المتبقية هي lambda_n.
   sum(lambda_i) = (n-1)*0 + lambda_n = n.
   إذن، lambda_n = n.
8. القيم الذاتية هي lambda = 0 (بتعدد n-1) و lambda = n (بتعدد 1).
9. الناقل الذاتي المقابل لـ lambda = n هو المتجه الذي كل مدخلاته متساوية، v = [1, 1, ..., 1]^T.
   A * v هو متجه كل مدخلاته n. n * v هو أيضاً متجه كل مدخلاته n. إذن Av = nv.
10. الناقلات الذاتية المقابلة لـ lambda = 0 هي أي متجه v بحيث مجموع مدخلاته يساوي 0 (أي v متعامد مع [1, 1, ..., 1]^T).

---

المسألة 7: الجبر المجرد (Abstract Algebra)

أثبت أن كل زمرة (group) رتبتها (order) عدد أولي p هي زمرة دائرية (cyclic group).

الحل:

1. لتكن G زمرة و |G| = p، حيث p عدد أولي.
2. لنأخذ أي عنصر g من G بحيث g ليس هو العنصر المحايد e.
3. لننظر إلى الزمرة الجزئية الدائرية H المولدة بواسطة g، أي H = <a>.
4. حسب نظرية لاغرانج (Lagrange’s Theorem)، رتبة أي زمرة جزئية يجب أن تقسم رتبة الزمرة الأم.
5. إذن، |H| يجب أن تقسم |G| = p.
6. بما أن p عدد أولي، فإن قواسمه الوحيدة هي 1 و p.
7. بما أننا اخترنا g != e، فإن الزمرة الجزئية H تحتوي على عنصرين على الأقل (e و g)، لذا |H| > 1.
8. بالتالي، يجب أن تكون |H| = p.
9. بما أن H هي زمرة جزئية من G ولها نفس الرتبة (|H| = |G| = p)، فإن H يجب أن تكون G نفسها.
10. بما أن G = H = <a>، فإن G مولدة بواسطة العنصر g، وبالتالي هي زمرة دائرية.

---

المسألة 8: التوافيق والاحتمالات (Combinatorics)

n أشخاص يلقون قبعاتهم في صندوق، ثم يسحب كل شخص قبعة بشكل عشوائي. ما هو احتمال ألا يحصل أي شخص على قبعته الصحيحة؟ وما هي نهاية هذا الاحتمال عندما n -> infinity؟

الحل:

1. هذه مشكلة الإبدالات المضطربة (Derangements). عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب n عناصر بحيث لا يبقى أي عنصر في مكانه الأصلي يرمز له بـ !n أو D_n.
2. الصيغة لحساب !n هي: !n = n! * sum from k=0 to n of ((-1)^k / k!).
   !n = n! * (1/0! - 1/1! + 1/2! - ... + (-1)^n / n!)
3. إجمالي عدد الطرق الممكنة لسحب القبعات هو n!.
4. احتمال ألا يحصل أي شخص على قبعته هو P(n) = !n / n!.
   P(n) = sum from k=0 to n of ((-1)^k / k!).
5. الجزء الثاني من السؤال يطلب النهاية lim as n -> infinity of P(n).
   lim n->inf (sum from k=0 to n of ((-1)^k / k!)) = sum from k=0 to infinity of ((-1)^k / k!).
6. هذه هي بالضبط متسلسلة تايلور للدالة الأسية e^x عند x = -1.
   e^x = sum from k=0 to infinity of (x^k / k!).
   e^(-1) = sum from k=0 to infinity of ((-1)^k / k!).
7. إذن، النهاية هي 1/e.
   1/e approx 0.367879.
   بشكل مثير للدهشة، يستقر هذا الاحتمال بسرعة كبيرة حول 37% حتى لقيم n الصغيرة.

---

المسألة 9: المعادلات الديفونتية (Diophantine Equations)

جد جميع الحلول الصحيحة (integer solutions) للمعادلة x^2 + y^2 = 3z^2.

الحل:

1. من الواضح أن (x, y, z) = (0, 0, 0) هو حل. لنبحث عن حلول غير صفرية.
2. لنفترض وجود حل غير صفري (x_0, y_0, z_0). يمكننا قسمة أي عامل مشترك للحصول على حل “أولي” حيث gcd(x_0, y_0, z_0) = 1.
3. لننظر إلى المعادلة mod 3: x^2 + y^2 = 0 (mod 3).
4. مربعات الأعداد الصحيحة mod 3 يمكن أن تكون فقط:
   0^2 = 0 (mod 3)
1^2 = 1 (mod 3)
2^2 = 4 = 1 (mod 3)
   إذن، أي مربع كامل k^2 هو إما 0 أو 1 (mod 3).
5. لكي يكون x^2 + y^2 = 0 (mod 3)، يجب أن يكون كل من x^2 و y^2 يساوي 0 (mod 3). (لأن 0+0=0, 0+1=1, 1+1=2).
6. هذا يعني أن x يجب أن يكون من مضاعفات 3 و y يجب أن يكون من مضاعفات 3.
7. إذن، يمكننا كتابة x = 3k و y = 3m لبعض الأعداد الصحيحة k, m.
8. نعوض في المعادلة الأصلية:
   (3k)^2 + (3m)^2 = 3z^2
9k^2 + 9m^2 = 3z^2
3k^2 + 3m^2 = z^2
9. هذه المعادلة الأخيرة z^2 = 3(k^2 + m^2) تعني أن z^2 من مضاعفات 3. وهذا بدوره يعني أن z يجب أن يكون من مضاعفات 3.
10. لقد أثبتنا أنه إذا كان (x, y, z) حلاً، فيجب أن يكون كل من x, y, z من مضاعفات 3.
11. هذا يتناقض مع افتراضنا بوجود حل “أولي” (x_0, y_0, z_0) حيث gcd(x_0, y_0, z_0) = 1. إذا كان x_0, y_0, z_0 جميعهم من مضاعفات 3، فإن gcd الخاص بهم هو 3 على الأقل.
12. هذه الطريقة، المعروفة باسم “النزول اللانهائي” (Infinite Descent)، تثبت عدم وجود حلول صحيحة غير صفرية.
13. الحل الصحيح الوحيد هو (x, y, z) = (0, 0, 0).

---

المسألة 10: الهندسة التحليلية (Analytic Geometry)

ما هو المحل الهندسي (locus) للنقاط P(x, y) في المستوى بحيث يكون مجموع بعديها عن نقطتين ثابتتين F1(-c, 0) و F2(c, 0) ثابتاً ويساوي 2a (حيث a > c > 0)؟

الحل:

1. المعطى هو dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a.
2. باستخدام صيغة المسافة:
   sqrt((x+c)^2 + y^2) + sqrt((x-c)^2 + y^2) = 2a
3. ننقل أحد الجذرين إلى الطرف الآخر:
   sqrt((x+c)^2 + y^2) = 2a - sqrt((x-c)^2 + y^2)
4. نربع الطرفين:
   (x+c)^2 + y^2 = 4a^2 - 4a*sqrt((x-c)^2 + y^2) + (x-c)^2 + y^2
x^2 + 2xc + c^2 + y^2 = 4a^2 - 4a*sqrt((x-c)^2 + y^2) + x^2 - 2xc + c^2 + y^2
5. نبسط المعادلة:
   4xc - 4a^2 = -4a*sqrt((x-c)^2 + y^2)
a^2 - xc = a*sqrt((x-c)^2 + y^2)
6. نربع الطرفين مرة أخرى للتخلص من الجذر المتبقي:
   (a^2 - xc)^2 = a^2 * ((x-c)^2 + y^2)
a^4 - 2a^2xc + x^2c^2 = a^2 * (x^2 - 2xc + c^2 + y^2)
a^4 - 2a^2xc + x^2c^2 = a^2x^2 - 2a^2xc + a^2c^2 + a^2y^2
7. نبسط بحذف -2a^2xc من الطرفين:
   a^4 + x^2c^2 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2
8. نعيد ترتيب الحدود:
   a^4 - a^2c^2 = a^2x^2 - x^2c^2 + a^2y^2
a^2(a^2 - c^2) = x^2(a^2 - c^2) + a^2y^2
9. نعرف b^2 = a^2 - c^2 (وهو عدد حقيقي موجب لأن a > c).
   a^2b^2 = x^2b^2 + a^2y^2
10. نقسم الطرفين على a^2b^2:
    1 = x^2/a^2 + y^2/b^2
11. هذه هي المعادلة القياسية للقطع الناقص (Ellipse) الذي مركزه (0,0)، ومحوره الأكبر على امتداد محور x، وبؤرتاه هما F1 و F2.

المسألة 1: حساب التفاضل والتكامل المتقدم (Calculus of Variations – The Brachistochrone Problem)

المسألة:
كرة صغيرة تنزلق من السكون بفعل الجاذبية من النقطة A(0, h) إلى النقطة B(x_1, 0). ما هو شكل المسار y(x) الذي يجب أن تسلكه الكرة لكي تصل إلى النقطة B في أسرع وقت ممكن؟ افترض عدم وجود احتكاك، وأن تسارع الجاذبية هو g.

الحل:
هذه هي مشكلة “الزمن الأصغر” أو “Brachistochrone” الشهيرة. هدفنا هو تقليل الزمن الكلي T.

1. إيجاد تعبير للزمن:
   الزمن dt لقطع مسافة متناهية في الصغر ds هو dt = ds / v، حيث v هي سرعة الكرة.
   من مبدأ حفظ الطاقة، الطاقة الحركية المكتسبة تساوي طاقة الوضع المفقودة:
   1/2 * m * v^2 = m * g * (h - y)
v = sqrt(2 * g * (h - y))
   عنصر طول القوس ds يُعطى بالعلاقة: ds = sqrt(dx^2 + dy^2) = sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx.
   الزمن الكلي T هو تكامل dt:
   T = integral from A to B of dt = integral from 0 to x_1 of (sqrt(1 + y'^2) / sqrt(2g(h-y))) dx
   حيث y' = dy/dx.
2. استخدام حساب المتغيرات (Calculus of Variations):
   لتقليل التكامل T، نستخدم معادلة أويلر-لاغرانج. التكامل على الصورة integral(F(y, y')) dx.
   لدينا F(y, y') = sqrt((1 + y'^2) / (h - y)).
   بما أن F لا تعتمد صراحة على x، يمكننا استخدام صيغة بيلترمي (Beltrami identity) من معادلة أويلر-لاغرانج:
   F - y' * (dF/dy') = C (حيث C ثابت).
3. تطبيق صيغة بيلترمي:
   نحسب المشتقة الجزئية dF/dy':
   dF/dy' = (1/sqrt(h-y)) * (1/2 * (1+y'^2)^(-1/2)) * (2y') = y' / (sqrt(h-y) * sqrt(1+y'^2))
   الآن نعوض في صيغة بيلترمي:
   sqrt(1+y'^2)/sqrt(h-y) - y' * (y' / (sqrt(h-y) * sqrt(1+y'^2))) = C
   نوحد المقامات:
   ((1+y'^2) - y'^2) / (sqrt(h-y) * sqrt(1+y'^2)) = C
1 / (sqrt(h-y) * sqrt(1+y'^2)) = C
   بتربيع الطرفين: 1 = C^2 * (h-y) * (1+y'^2).
   يمكننا دمج الثابت C و h في ثابت جديد، ونقلب المحاور لتسهيل الحل بجعل النقطة A هي (0,0) والكرة تتحرك للأسفل (في اتجاه y الموجب). تصبح المعادلة بالمتغيرات الجديدة: y(1+y'^2) = K حيث K ثابت.
4. حل المعادلة التفاضلية:
   1 + y'^2 = K/y
y'^2 = K/y - 1 = (K-y)/y
dy/dx = sqrt((K-y)/y)
dx = sqrt(y/(K-y)) dy
   هذا التكامل صعب. نستخدم تعويضاً مثلثياً:
   لنجعل y = K * sin^2(theta/2) = K/2 * (1 - cos(theta))
   إذن dy = K * sin(theta/2) * cos(theta/2) * d(theta) = K/2 * sin(theta) d(theta)
   نعوض في dx:
   dx = sqrt((K*sin^2(theta/2)) / (K - K*sin^2(theta/2))) * (K/2 * sin(theta) d(theta))
dx = sqrt(sin^2(theta/2) / cos^2(theta/2)) * (K/2 * sin(theta) d(theta))
dx = (sin(theta/2) / cos(theta/2)) * (K/2 * 2*sin(theta/2)*cos(theta/2)) d(theta)
dx = K * sin^2(theta/2) d(theta) = K/2 * (1 - cos(theta)) d(theta)
5. إيجاد x(theta):
   نكامل dx بالنسبة لـ theta:
   x = integral(K/2 * (1 - cos(theta))) d(theta) = K/2 * (theta - sin(theta)) + C_2
   بما أن المسار يبدأ من (0,0)، عندما theta=0 فإن x=0 و y=0، لذا C_2=0.
6. النتيجة النهائية:
   المعادلات البارامترية للمسار هي:
   x(theta) = a * (theta - sin(theta))
y(theta) = a * (1 - cos(theta))
   حيث a = K/2. هذا هو تعريف السيكلويد (Cycloid) المقلوب، وهو المنحنى الذي ترسمه نقطة على حافة عجلة تتدحرج.

---

المسألة 2: التحليل العقدي (Complex Analysis)

المسألة:
أوجد قيمة التكامل التالي باستخدام التكامل الكنتوري (Contour Integration):
I = integral from 0 to infinity of (x^(-a) / (1+x)) dx
حيث 0 < a < 1.

الحل:
هذه المسألة تتطلب استخدام مسار تكامل خاص يسمى “مسار ثقب المفتاح” (Keyhole Contour) بسبب وجود نقطة تفرع (branch point) للدالة z^(-a) عند z=0.

1. إعداد التكامل العقدي:
   نعتبر الدالة العقدية f(z) = z^(-a) / (1+z). نختار فرعاً للدالة z^(-a) = exp(-a * Log(z)) حيث Log(z) = ln|z| + i*arg(z) مع 0 <= arg(z) < 2*pi. هذا يضع “قطع الفرع” (branch cut) على طول المحور الحقيقي الموجب.
   المسار C يتكون من أربعة أجزاء:
   • C_R: قوس دائرة كبيرة نصف قطرها R عكس عقارب الساعة.
   • L_1: خط مستقيم فوق المحور الحقيقي من R إلى epsilon.
   • C_epsilon: قوس دائرة صغيرة نصف قطرها epsilon حول نقطة الأصل مع عقارب الساعة.
   • L_2: خط مستقيم تحت المحور الحقيقي من epsilon إلى R.
2. تحليل التكامل على أجزاء المسار:
   • على C_R: عندما R -> infinity، |integral(f(z)dz)| <= (2*pi*R) * (R^(-a) / (R-1)). بما أن a>0، فإن هذا الحد يؤول إلى 0.
   • على C_epsilon: عندما epsilon -> 0، |integral(f(z)dz)| <= (2*pi*epsilon) * (epsilon^(-a) / (1-epsilon)). بما أن 1-a > 0، فإن هذا الحد يؤول إلى 0.
3. تحليل التكامل على L_1 و L_2:
   • على L_1 (فوق المحور الحقيقي): z = x, arg(z) = 0, z^(-a) = x^(-a). التكامل يصبح:
     integral from R to epsilon of (x^(-a)/(1+x)) dx = - integral from epsilon to R of (x^(-a)/(1+x)) dx
     عندما R->inf و epsilon->0، هذا يساوي -I.
   • على L_2 (تحت المحور الحقيقي): z = x * e^(i*2*pi), arg(z) = 2*pi, dz = dx.
     z^(-a) = exp(-a * (ln(x) + i*2*pi)) = x^(-a) * e^(-i*2*pi*a). التكامل يصبح:
     integral from epsilon to R of (x^(-a) * e^(-i*2*pi*a) / (1+x)) dx
     عندما R->inf و epsilon->0، هذا يساوي e^(-i*2*pi*a) * I.
4. تطبيق نظرية البقايا (Residue Theorem):
   الدالة f(z) لها قطب بسيط (simple pole) واحد داخل المسار C عند z = -1 = e^(i*pi).
   الباقي (Residue) عند z = -1 هو:
   Res(f, -1) = lim (z->-1) of ((z+1) * f(z)) = lim (z->-1) of (z^(-a)) = (-1)^(-a)
   باستخدام الفرع الذي اخترناه arg(-1)=pi، نحصل على:
   (-1)^(-a) = (e^(i*pi))^(-a) = e^(-i*pi*a)
   نظرية البقايا تقول: integral over C of f(z) dz = 2 * pi * i * Sum(Residues)
integral over C of f(z) dz = 2 * pi * i * e^(-i*pi*a)
5. تجميع النتائج وحل المعادلة:
   مجموع التكاملات على أجزاء المسار يساوي قيمة التكامل الكنتوري:
   0 - I + 0 + e^(-i*2*pi*a) * I = 2 * pi * i * e^(-i*pi*a)
I * (e^(-i*2*pi*a) - 1) = 2 * pi * i * e^(-i*pi*a)
I = (2 * pi * i * e^(-i*pi*a)) / (e^(-i*2*pi*a) - 1)
   نضرب البسط والمقام في e^(i*pi*a):
   I = (2 * pi * i) / (e^(-i*pi*a) - e^(i*pi*a))
   باستخدام صيغة أويلر sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i):
   e^(i*pi*a) - e^(-i*pi*a) = 2i * sin(pi*a)
   لذا، e^(-i*pi*a) - e^(i*pi*a) = -2i * sin(pi*a).
   I = (2 * pi * i) / (-2i * sin(pi*a))
6. النتيجة النهائية:
   I = pi / sin(pi*a)

---

المسألة 3: المتسلسلات اللانهائية ونظرية فورييه (Infinite Series and Fourier Theory)

المسألة:
أوجد قيمة المجموع اللانهائي التالي (مشكلة بازل) باستخدام متسلسلة فورييه للدالة f(x) = x^2:
S = sum from n=1 to infinity of (1/n^2)

الحل:
سنقوم بحساب متسلسلة فورييه للدالة f(x) = x^2 على الفترة [-pi, pi] ثم نستخدمها لإيجاد قيمة المجموع.

1. صيغة متسلسلة فورييه:
   f(x) = a_0/2 + sum from n=1 to infinity of (a_n*cos(nx) + b_n*sin(nx))
2. حساب المعامل b_n:
   بما أن f(x) = x^2 هي دالة زوجية (even function) على فترة متناظرة، فإن b_n = 0 لجميع قيم n.
   b_n = (1/pi) * integral from -pi to pi of (x^2 * sin(nx)) dx = 0.
3. حساب المعامل a_0:
   a_0 = (1/pi) * integral from -pi to pi of (x^2) dx = (1/pi) * [x^3/3] from -pi to pi
a_0 = (1/pi) * (pi^3/3 - (-pi^3/3)) = (1/pi) * (2*pi^3/3) = 2*pi^2/3
4. حساب المعامل a_n:
   a_n = (1/pi) * integral from -pi to pi of (x^2 * cos(nx)) dx
   نستخدم التكامل بالتجزئة مرتين (integral(u dv) = uv - integral(v du)).
   • المرة الأولى:
     u = x^2, dv = cos(nx) dx
du = 2x dx, v = (1/n)sin(nx)
a_n = (1/pi) * [ (x^2/n)sin(nx) | from -pi to pi - integral from -pi to pi of ((2x/n)sin(nx)) dx ]
     الحد الأول (x^2/n)sin(nx) يساوي 0 عند x=pi و x=-pi.
     a_n = -(2/(n*pi)) * integral from -pi to pi of (x*sin(nx)) dx
   • المرة الثانية:
     u = x, dv = sin(nx) dx
du = dx, v = -(1/n)cos(nx)
a_n = -(2/(n*pi)) * [ (-x/n)cos(nx) | from -pi to pi - integral from -pi to pi of (-(1/n)cos(nx)) dx ]
a_n = -(2/(n*pi)) * [ (-pi/n)cos(n*pi) - (pi/n)cos(-n*pi) + (1/n) * integral from -pi to pi of cos(nx) dx ]
     نعلم أن cos(n*pi) = cos(-n*pi) = (-1)^n وأن integral(cos(nx)) dx على فترة كاملة يساوي 0.
     a_n = -(2/(n*pi)) * [ -2*pi/n * (-1)^n ] = (4/n^2) * (-1)^n
5. كتابة متسلسلة فورييه:
   x^2 = (2*pi^2/3)/2 + sum from n=1 to infinity of ((4/n^2)*(-1)^n * cos(nx))
x^2 = pi^2/3 + 4 * sum from n=1 to infinity of ((-1)^n/n^2 * cos(nx))
6. إيجاد قيمة المجموع:
   للحصول على sum(1/n^2)، نحتاج للتخلص من (-1)^n و cos(nx). أفضل قيمة لـ x هي x = pi، لأن cos(n*pi) = (-1)^n.
   نعوض x = pi في المعادلة:
   pi^2 = pi^2/3 + 4 * sum from n=1 to infinity of ((-1)^n/n^2 * (-1)^n)
pi^2 = pi^2/3 + 4 * sum from n=1 to infinity of ((-1)^(2n)/n^2)
   بما أن (-1)^(2n) = 1 لجميع قيم n:
   pi^2 = pi^2/3 + 4 * sum from n=1 to infinity of (1/n^2)
pi^2 - pi^2/3 = 4 * S
2*pi^2/3 = 4 * S
S = (2*pi^2) / (3*4)
7. النتيجة النهائية:
   S = sum from n=1 to infinity of (1/n^2) = pi^2 / 6

---

المسألة 4: الجبر الخطي المتقدم (Advanced Linear Algebra)

المسألة:
أوجد e^(At) للمصفوفة غير القابلة للتقطير (non-diagonalizable) التالية:
A = [[3, -1], [1, 1]]

الحل:
هذه المسألة تتطلب إيجاد صيغة جوردان الطبيعية (Jordan Normal Form) للمصفوفة A.

1. إيجاد القيم الذاتية (Eigenvalues):
   نحل المعادلة المميزة det(A - lambda*I) = 0.
   det([[3-lambda, -1], [1, 1-lambda]]) = (3-lambda)(1-lambda) - (-1)(1) = 0
3 - 4*lambda + lambda^2 + 1 = 0
lambda^2 - 4*lambda + 4 = 0
(lambda - 2)^2 = 0
   لدينا قيمة ذاتية مكررة lambda = 2 بتعدد جبري (algebraic multiplicity) يساوي 2.
2. إيجاد المتجهات الذاتية (Eigenvectors):
   نحل (A - lambda*I)v = 0 لـ lambda=2.
   (A - 2I)v = [[1, -1], [1, -1]] * [[v_1], [v_2]] = [[0], [0]]
   هذا يعطينا المعادلة v_1 - v_2 = 0، أي v_1 = v_2.
   الفضاء الذاتي (eigenspace) يمتد بواسطة متجه واحد فقط، على سبيل المثال v = [1, 1]^T.
   بما أن التعدد الهندسي (geometric multiplicity) 1 أقل من التعدد الجبري 2، فإن المصفوفة A غير قابلة للتقطير.
3. إيجاد صيغة جوردان (Jordan Form):
   نحتاج إلى إيجاد متجه ذاتي معمّم (generalized eigenvector) w بحيث (A - lambda*I)w = v.
   [[1, -1], [1, -1]] * [[w_1], [w_2]] = [[1], [1]]
   هذا يعطينا المعادلة w_1 - w_2 = 1. يمكننا اختيار أي حل، مثلاً w_2=0 فتكون w_1=1. إذن w = [1, 0]^T.
4. تكوين مصفوفة الانتقال وصيغة جوردان:
   مصفوفة الانتقال P تتكون من v و w: P = [v, w] = [[1, 1], [1, 0]].
   صيغة جوردان J تُعطى بالعلاقة A = PJP^(-1)، حيث J = [[lambda, 1], [0, lambda]].
   J = [[2, 1], [0, 2]].
5. حساب e^(At):
   نستخدم الخاصية e^(At) = P * e^(Jt) * P^(-1).
   أولاً، نحسب P^(-1):
   P^(-1) = (1/det(P)) * [[0, -1], [-1, 1]] = (1/-1) * [[0, -1], [-1, 1]] = [[0, 1], [1, -1]].
   ثانياً، نحسب e^(Jt). نكتب J = D + N حيث D هو الجزء القطري و N هو الجزء النيلبوتينتي (nilpotent).
   D = [[2, 0], [0, 2]], N = [[0, 1], [0, 0]].
   بما أن DN=ND، فإن e^(Jt) = e^((D+N)t) = e^(Dt) * e^(Nt).
   e^(Dt) = [[e^(2t), 0], [0, e^(2t)]]
e^(Nt) = I + Nt + (Nt)^2/2! + ...
N^2 = [[0, 1], [0, 0]] * [[0, 1], [0, 0]] = [[0, 0], [0, 0]].
   إذن، e^(Nt) = I + Nt = [[1, 0], [0, 1]] + [[0, t], [0, 0]] = [[1, t], [0, 1]].
   e^(Jt) = [[e^(2t), 0], [0, e^(2t)]] * [[1, t], [0, 1]] = [[e^(2t), t*e^(2t)], [0, e^(2t)]].
6. الضرب النهائي:
   e^(At) = P * e^(Jt) * P^(-1)
e^(At) = [[1, 1], [1, 0]] * [[e^(2t), t*e^(2t)], [0, e^(2t)]] * [[0, 1], [1, -1]]
e^(At) = [[e^(2t), (t+1)e^(2t)], [e^(2t), t*e^(2t)]] * [[0, 1], [1, -1]]
e^(At) = [[ (t+1)e^(2t) , e^(2t) - (t+1)e^(2t) ], [ t*e^(2t) , e^(2t) - t*e^(2t) ]]
e^(At) = [[ (t+1)e^(2t) , -t*e^(2t) ], [ t*e^(2t) , (1-t)e^(2t) ]]
7. النتيجة النهائية:
   e^(At) = e^(2t) * [[t+1, -t], [t, 1-t]]

---

المسألة 5: نظرية الأعداد والمعادلات الديفونتية (Number Theory & Diophantine Equations)

المسألة:
جد جميع الحلول الصحيحة (x, y) لمعادلة بيل (Pell’s Equation) التالية:
x^2 - 29y^2 = 1

الحل:
حل معادلة بيل يتطلب إيجاد “الحل الأساسي” (Fundamental Solution) ثم توليد جميع الحلول الأخرى منه.

1. البحث عن الحل الأساسي (x_1, y_1):
   الحل الأساسي هو أصغر حل صحيح موجب للمعادلة. نبحث عنه باستخدام طريقة الكسور المستمرة (Continued Fractions) للجذر التربيعي للعدد D=29.
   sqrt(29):
   a_0 = floor(sqrt(29)) = 5
xi_1 = 1/(sqrt(29) - 5) = (sqrt(29)+5)/(29-25) = (sqrt(29)+5)/4
a_1 = floor(xi_1) = floor((5+5)/4) = 2
xi_2 = 1/( (sqrt(29)+5)/4 - 2 ) = 4/(sqrt(29)-3) = 4(sqrt(29)+3)/(29-9) = (sqrt(29)+3)/5
a_2 = floor(xi_2) = floor((5+3)/5) = 1
xi_3 = 1/( (sqrt(29)+3)/5 - 1 ) = 5/(sqrt(29)-2) = 5(sqrt(29)+2)/(29-4) = (sqrt(29)+2)/5
a_3 = floor(xi_3) = floor((5+2)/5) = 1
xi_4 = 1/( (sqrt(29)+2)/5 - 1 ) = 5/(sqrt(29)-3) = 5(sqrt(29)+3)/(29-9) = (sqrt(29)+3)/4
a_4 = floor(xi_4) = floor((5+3)/4) = 2
xi_5 = 1/( (sqrt(29)+3)/4 - 2 ) = 4/(sqrt(29)-5) = 4(sqrt(29)+5)/(29-25) = sqrt(29)+5
a_5 = floor(xi_5) = floor(5+5) = 10
   الكسر المستمر دوري: sqrt(29) = [5; (2, 1, 1, 2, 10)]. طول الدورة p = 5.
2. استخدام التقاربات (Convergents):
   بما أن طول الدورة p=5 فردي، فإن الحل الأساسي لمعادلة x^2 - 29y^2 = -1 يأتي من التقارب p-1=4. والحل الأساسي لمعادلتنا x^2 - 29y^2 = 1 يأتي من التقارب 2p-1=9.
   نحسب التقاربات C_k = p_k / q_k:
   C_0 = 5/1
C_1 = 5 + 1/2 = 11/2
C_2 = 5 + 1/(2+1/1) = 16/3
C_3 = 5 + 1/(2+1/(1+1/1)) = 27/5
C_4 = 5 + 1/(2+1/(1+1/(1+1/2))) = 70/13.
   لنتحقق من C_4: p_4^2 - 29*q_4^2 = 70^2 - 29*13^2 = 4900 - 29*169 = 4900 - 4801 + 100 - 100 = 4900 - 4901 = -1.
   إذن، (70, 13) هو الحل الأساسي لـ x^2-29y^2 = -1.
3. إيجاد الحل الأساسي لمعادلة x^2-29y^2=1:
   للحصول على حل لـ +1، نستخدم الهوية (x_1 + y_1*sqrt(D))^2 = (x_2 + y_2*sqrt(D)).
   نربع الحل الذي وجدناه:
   (70 + 13*sqrt(29))^2 = 70^2 + 2*70*13*sqrt(29) + 13^2*29
= 4900 + 1820*sqrt(29) + 169*29
= 4900 + 1820*sqrt(29) + 4901
= 9801 + 1820*sqrt(29)
   إذن، الحل الأساسي للمعادلة x^2 - 29y^2 = 1 هو (x_1, y_1) = (9801, 1820).
4. توليد جميع الحلول:
   جميع الحلول الصحيحة الموجبة (x_n, y_n) للمعادلة تُعطى بالعلاقة:
   x_n + y_n*sqrt(29) = (x_1 + y_1*sqrt(29))^n
   حيث n هو أي عدد صحيح موجب.
   x_n + y_n*sqrt(29) = (9801 + 1820*sqrt(29))^n
5. النتيجة النهائية:
   الحل الأساسي هو (x, y) = (9801, 1820).
   جميع الحلول (x_n, y_n) يمكن توليدها من العلاقات التكرارية التالية:
   x_{n+1} = x_1*x_n + D*y_1*y_n = 9801*x_n + 29*1820*y_n
y_{n+1} = x_1*y_n + y_1*x_n = 9801*y_n + 1820*x_n
   مع (x_0, y_0) = (1, 0) (الحل التافه).
   الحل الأول: (x_1, y_1) = (9801, 1820)
   الحل الثاني:
   x_2 + y_2*sqrt(29) = (9801 + 1820*sqrt(29))^2
x_2 = 9801^2 + 29*1820^2 = 192119201
y_2 = 2 * 9801 * 1820 = 35675640
   وهكذا. بالإضافة إلى هذه الحلول، توجد الحلول المقابلة مع إشارات سالبة، (+/- x_n, +/- y_n).

المصداقية والمراجعة

حرصاً منا على تقديم محتوى علمي دقيق وموثوق، جرت مراجعة هذا المقال من قبل فريق التحرير في موقعنا لضمان الدقة والمعلومة الصحيحة. تم التحقق من خطوات الحل والنت النهائية بالاستناد إلى مبادئ رياضية راسخة ومقارنتها بمصادر أكاديمية متخصصة.

إخلاء مسؤولية: تم إعداد هذه المسائل وحلولها لأغراض تعليمية وبهدف تقديم تحدٍ فكري للقارئ. الرياضيات مجال واسع، وقد توجد طرق حل بديلة أو تبسيطات مختلفة لم يتم ذكرها. نوصي دائمًا بالرجوع إلى النصوص الأكاديمية المتخصصة لتعميق الفهم واستكشاف المزيد.