تعتبر نظرية فيثاغورس من أهم النظريات في الهندسة الرياضية، والتي تنص على أنه في المثلث قائم الزاوية، يكون مربع طول الوتر (c) مساوياً لمجموع مربعي طولي الضلعين القائمين (a و b). تُكتب المعادلة بالشكل التالي: c2 = a2 + b2.
إليك 30 تمريناً ومسألة متدرجة الصعوبة مع حلولها المباشرة.
المستوى الأول: تطبيقات مباشرة (إيجاد الضلع المجهول)
1 مثلث قائم الزاوية، طول ضلعي القائمة a = 3 cm و b = 4 cm. احسب طول الوتر c.
الحل:
بتطبيق النظرية: c2 = a2 + b2
c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
c = √25 = 5 cm
c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
c = √25 = 5 cm
2 مثلث قائم، فيه a = 6 m و b = 8 m. أوجد c.
الحل:
c2 = 62 + 82
c2 = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10 m
c2 = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10 m
3 إذا كان a = 5 cm و b = 12 cm، فما هو طول c؟
الحل:
c = √(52 + 122)
c = √(25 + 144) = √169 = 13 cm
c = √(25 + 144) = √169 = 13 cm
4 مثلث قائم، طول الوتر c = 10 m وطول أحد الضلعين a = 6 m. احسب الضلع b.
الحل:
b2 = c2 – a2
b2 = 102 – 62 = 100 – 36 = 64
b = √64 = 8 m
b2 = 102 – 62 = 100 – 36 = 64
b = √64 = 8 m
5 أوجد الضلع a إذا علمت أن c = 13 cm و b = 5 cm.
الحل:
a = √(c2 – b2)
a = √(132 – 52) = √(169 – 25) = √144 = 12 cm
a = √(132 – 52) = √(169 – 25) = √144 = 12 cm
6 احسب الوتر c لمثلث قائم ضلعاه a = 8 mm و b = 15 mm.
الحل:
c = √(82 + 152) = √(64 + 225) = √289 = 17 mm
7 مثلث قائم، وتره c = 25 km وضلعه a = 7 km. أوجد b.
الحل:
b = √(252 – 72) = √(625 – 49) = √576 = 24 km
8 إذا كان c = 15 m و b = 9 m، احسب a.
الحل:
a = √(152 – 92) = √(225 – 81) = √144 = 12 m
9 مثلث قائم ضلعاه a = 9 cm و b = 40 cm. أوجد c.
الحل:
c = √(92 + 402) = √(81 + 1600) = √1681 = 41 cm
10 أوجد b إذا كان c = 17 m و a = 8 m.
الحل:
b = √(172 – 82) = √(289 – 64) = √225 = 15 m
المستوى الثاني: الأشكال الهندسية والمحيط والمساحة
11 مستطيل طوله 8 cm وعرضه 6 cm. احسب طول قطره d.
الحل:
قطر المستطيل يشكل وتراً لمثلث قائم.
d = √(82 + 62) = √(64 + 36) = √100 = 10 cm
d = √(82 + 62) = √(64 + 36) = √100 = 10 cm
12 مربع طول ضلعه x = 5 cm. احسب طول قطره d.
الحل:
d = √(52 + 52) = √(25 + 25) = √50 = 5√2 cm
13 مثلث متساوي الساقين، طول كل ساق 5 cm وطول القاعدة 6 cm. احسب الارتفاع h.
الحل:
الارتفاع ينصف القاعدة، فتصبح القاعدة للمثلث القائم 3 cm والوتر 5 cm.
h = √(52 – 32) = √(25 – 9) = √16 = 4 cm
h = √(52 – 32) = √(25 – 9) = √16 = 4 cm
14 معين طول قطريه 10 cm و 24 cm. احسب طول ضلعه s.
الحل:
أقطار المعين متعامدة وتنصف بعضها. أضلاع المثلث القائم هي 5 cm و 12 cm.
s = √(52 + 122) = √(25 + 144) = √169 = 13 cm
s = √(52 + 122) = √(25 + 144) = √169 = 13 cm
15 احسب محيط مثلث قائم الزاوية إذا كان طولا ضلعي القائمة 10 m و 24 m.
الحل:
أولاً نجد الوتر: c = √(102 + 242) = √(100 + 576) = 26 m
المحيط = مجموع الأضلاع = 10 + 24 + 26 = 60 m
المحيط = مجموع الأضلاع = 10 + 24 + 26 = 60 m
16 مثلث قائم، طول وتره 15 cm وطول أحد أضلاعه القائمة 9 cm. احسب مساحته.
الحل:
نجد الضلع الآخر: b = √(152 – 92) = √(225 – 81) = 12 cm
المساحة = (9 × 12) / 2 = 54 cm2
المساحة = (9 × 12) / 2 = 54 cm2
17 هل المثلث الذي أطوال أضلاعه 7 cm, 24 cm, 25 cm هو مثلث قائم؟
الحل:
نتحقق باستخدام عكس نظرية فيثاغورس:
72 + 242 = 49 + 576 = 625
252 = 625
بما أن الطرفين متساويان، نعم المثلث قائم الزاوية.
72 + 242 = 49 + 576 = 625
252 = 625
بما أن الطرفين متساويان، نعم المثلث قائم الزاوية.
18 هل المثلث ذو الأضلاع 4 m, 5 m, 6 m قائم الزاوية؟
الحل:
الضلع الأطول هو 6. نتحقق:
42 + 52 = 16 + 25 = 41
62 = 36
بما أن 41 ≠ 36، إذن المثلث ليس قائماً.
42 + 52 = 16 + 25 = 41
62 = 36
بما أن 41 ≠ 36، إذن المثلث ليس قائماً.
الحل:
الارتفاع يقسم القاعدة إلى نصفين (5 cm لكل نصف).
h = √(102 – 52) = √(100 – 25) = √75 = 5√3 cm
h = √(102 – 52) = √(100 – 25) = √75 = 5√3 cm
20 قطر مستطيل هو 20 m وعرضه 12 m. احسب طوله L.
الحل:
L = √(202 – 122) = √(400 – 144) = √256 = 16 m
المستوى الثالث: مسائل لفظية وتطبيقات متقدمة
21 سُلم طوله 10 m يستند على حائط. إذا كانت قمة السلم ترتفع 8 m عن الأرض، فما بُعد قاعدة السلم عن الحائط؟
الحل:
الوتر هو طول السلم.
البعد = √(102 – 82) = √(100 – 64) = √36 = 6 m
البعد = √(102 – 82) = √(100 – 64) = √36 = 6 m
22 أبحرت سفينة باتجاه الشمال مسافة 30 km، ثم اتجهت شرقاً مسافة 40 km. كم تبعد السفينة الآن عن نقطة البداية؟
الحل:
المسافة تمثل الوتر.
c = √(302 + 402) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 km
c = √(302 + 402) = √(900 + 1600) = √2500 = 50 km
23 شاشة تلفاز قياسها القطري 50 inch وعرضها 40 inch. احسب ارتفاع الشاشة.
الحل:
h = √(502 – 402) = √(2500 – 1600) = √900 = 30 inch
24 طائرة ورقية تحلق في السماء، طول خيطها 65 m، والمسافة الأفقية بين الطفل والطائرة 25 m. احسب ارتفاع الطائرة عن سطح الأرض.
الحل:
الارتفاع = √(652 – 252) = √(4225 – 625) = √3600 = 60 m
25 شجرة تلقي ظلاً طوله 15 m. المسافة من قمة الشجرة إلى نهاية الظل هي 17 m. احسب ارتفاع الشجرة.
الحل:
الارتفاع = √(172 – 152) = √(289 – 225) = √64 = 8 m
26 عمودان طولهما 10 m و 15 m. المسافة الأفقية بينهما 12 m. احسب المسافة بين قمتي العمودين.
الحل:
الفرق في الطول = 15 – 10 = 5 m. (هذا هو الضلع الرأسي). الضلع الأفقي = 12 m.
المسافة = √(122 + 52) = √(144 + 25) = √169 = 13 m
المسافة = √(122 + 52) = √(144 + 25) = √169 = 13 m
27 صندوق أبعاده الثلاثة هي 3 m, 4 m, 12 m. احسب طول القطر الداخلي للصندوق (من زاوية سفلية إلى الزاوية العلوية المقابلة).
الحل:
قطر القاعدة السفلية = √(32 + 42) = 5 m.
القطر الداخلي = √(52 + 122) = √(25 + 144) = 13 m
القطر الداخلي = √(52 + 122) = √(25 + 144) = 13 m
28 سار شخص مسافة 5 km غرباً ثم التفت وسار 12 km جنوباً. ما هي إزاحته المستقيمة من نقطة البداية؟
الحل:
الإزاحة = √(52 + 122) = √(25 + 144) = √169 = 13 km
29 زلاجة أطفال (Slide) طولها 25 m، تبعد نهايتها السفلية مسافة أفقية قدرها 24 m عن قاعدة السلم. ما ارتفاع السلم؟
الحل:
الارتفاع = √(252 – 242) = √(625 – 576) = √49 = 7 m
30 مثلث قائم الزاوية طول أحد ضلعي القائمة a = √11 cm وطول الضلع الآخر b = 5 cm. احسب الوتر c.
الحل:
c2 = (√11)2 + 52 = 11 + 25 = 36
c = √36 = 6 cm
c = √36 = 6 cm
