50 تمريناً ومسألة شاملة عن التابع اللوغاريتمي مع الحلول
في هذه المقالة، نستعرض مجموعة واسعة من التمارين حول التابع اللوغاريتمي، تتدرج من المستويات الأساسية والسهلة وصولاً إلى المستويات المتقدمة والمعقدة جداً.
المستوى الأول: التأسيس والتعاريف الأساسية (1-15)
في هذا القسم نركز على حساب القيم وحل المعادلات البسيطة المباشرة.
التمرين 1: احسب قيمة:
y = log_2(8)
الحل:
2^y = 8 ⇒ y = 3
التمرين 2: احسب قيمة:
y = ln(e^5)
الحل:
ln(e^5) = 5 * ln(e) = 5 * 1 = 5
التمرين 3: حل المعادلة بالنسبة لـ x:
ln(x) = 0
الحل:
x = e^0 ⇒ x = 1
التمرين 4: حل المعادلة بالنسبة لـ x:
log_10(x) = 2
الحل:
x = 10^2 ⇒ x = 100
التمرين 5: أوجد مجموعة تعريف التابع:
f(x) = ln(x – 3)
الحل: ما داخل اللوغاريتم يجب أن يكون موجباً تماماً.
x – 3 > 0 ⇒ x > 3 ⇒ Domain: (3, +∞)
التمرين 6: انشر العبارة اللوغاريتمية:
ln(A * B)
الحل:
ln(A) + ln(B)
التمرين 7: اكتب العبارة بشكل مختصر:
ln(x) – ln(y)
الحل:
ln(x / y)
التمرين 8: احسب قيمة:
y = log_5(1)
الحل:
5^y = 1 ⇒ y = 0
التمرين 9: حل المعادلة:
e^(ln(x)) = 7
الحل: التابع الأسّي واللوغاريتمي متعاكسان.
x = 7
التمرين 10: أوجد مشتق التابع:
f(x) = ln(x)
الحل:
f'(x) = 1 / x
التمرين 11: احسب قيمة:
y = log_3(1/9)
الحل:
3^y = 3^(-2) ⇒ y = -2
التمرين 12: حل المعادلة:
2 * ln(x) = 4
الحل:
ln(x) = 2 ⇒ x = e^2
التمرين 13: أوجد مجموعة تعريف التابع:
f(x) = log_2(5 – x)
الحل:
5 – x > 0 ⇒ x < 5 ⇒ Domain: (-∞, 5)
التمرين 14: أوجد التكامل غير المحدد:
∫ (1/x) dx
الحل:
ln|x| + C
التمرين 15: حل المعادلة بالنسبة لـ x:
log_x(16) = 2
الحل: علماً أن الأساس يجب أن يكون موجباً ولا يساوي 1.
x^2 = 16 ⇒ x = 4
المستوى الثاني: المعادلات والمتراجحات المتوسطة (16-30)
ننتقل هنا إلى تطبيق خواص اللوغاريتمات في حل المعادلات والمتراجحات ودراسة بعض النهايات.
التمرين 16: حل المعادلة:
log_2(x) + log_2(x-2) = 3
الحل:
log_2(x(x-2)) = 3 ⇒ x^2 – 2x = 8 ⇒ x^2 – 2x – 8 = 0
(x-4)(x+2) = 0 ⇒ Since x > 2, x = 4
التمرين 17: حل المعادلة:
ln(x+1) – ln(x) = 1
الحل:
ln((x+1)/x) = 1 ⇒ (x+1)/x = e ⇒ x+1 = e*x ⇒ x(e-1) = 1 ⇒ x = 1/(e-1)
التمرين 18: أوجد النهاية:
lim (x → 0^+) ln(x)
الحل:
-∞
التمرين 19: أوجد النهاية:
lim (x → +∞) ln(x) / x
الحل: باستخدام قاعدة لوبيتال.
lim (1/x)/1 = 0
التمرين 20: أوجد مشتق التابع:
f(x) = ln(x^2 + 1)
الحل:
f'(x) = 2x / (x^2 + 1)
التمرين 21: حل المتراجحة:
ln(x) > 2
الحل:
x > e^2
التمرين 22: أوجد مجموعة تعريف التابع:
f(x) = ln(x^2 – 4)
الحل:
x^2 – 4 > 0 ⇒ Domain: (-∞, -2) U (2, +∞)
التمرين 23: اشتق التابع:
f(x) = x * ln(x)
الحل: باستخدام قاعدة مشتق الجداء.
f'(x) = 1*ln(x) + x*(1/x) = ln(x) + 1
التمرين 24: احسب التكامل:
∫ ln(x) dx
الحل: باستخدام المكاملة بالتجزئة.
x*ln(x) – x + C
التمرين 25: حل المعادلة الأسية باستخدام اللوغاريتم:
3^x = 5
الحل:
ln(3^x) = ln(5) ⇒ x*ln(3) = ln(5) ⇒ x = ln(5) / ln(3)
التمرين 26: بسّط العبارة:
e^(2 * ln(3))
الحل:
e^(ln(3^2)) = e^(ln(9)) = 9
التمرين 27: أوجد النهاية:
lim (x → e) [ln(x) – 1] / [x – e]
الحل: تمثل هذه النهاية تعريف العدد المشتق للتابع ln(x) عند x = e.
Derivative of ln(x) at x=e is 1/e
التمرين 28: حل المتراجحة:
log_10(x-1) < 1
الحل: شرط الحل x > 1.
x-1 < 10^1 ⇒ x < 11 ⇒ Solution: 1 < x < 11
التمرين 29: أوجد معادلة المماس للمنحني في النقطة التي فاصلتها x = 1:
y = ln(x)
الحل:
y(1)=0, y'(1)=1 ⇒ y – 0 = 1*(x – 1) ⇒ y = x – 1
التمرين 30: أوجد المشتق للتابع:
f(x) = ln(sin(x))
الحل:
f'(x) = cos(x) / sin(x) = cot(x)
المستوى الثالث: المسائل المعقدة والطويلة جداً (31-50)
هنا تجد المسائل التي تتطلب دمج عدة مفاهيم (تفاضل، تكامل، نهايات معقدة، دراسة تغيرات معمقة) وهي مصممة للطلاب المتميزين.
القسم أ: التفاضل المتقدم والنهايات (31-40)
التمرين 31: أوجد القيمة العظمى بدقة للتابع التالي على المجال (0, +∞):
f(x) = (ln(x))^2 / x
الحل: أولاً، نوجد المشتق ونساويه بالصفر.
f'(x) = [2*ln(x) – (ln(x))^2] / x^2 = 0 ⇒ ln(x)[2 – ln(x)] = 0
ln(x) = 0 ⇒ x = 1 (Min)
ln(x) = 2 ⇒ x = e^2 (Max)
Max value = f(e^2) = 4/e^2
التمرين 32: احسب التكامل المعتل:
I = ∫_0^1 ln(x) dx
الحل: نحسب النهاية عندما يقترب الحد الأدنى من الصفر.
I = lim(a→0^+) [x*ln(x) – x]_a^1 = (1*ln(1) – 1) – lim(a→0^+) (a*ln(a) – a)
Since lim(a→0^+) a*ln(a) = 0 ⇒ I = -1 – 0 = -1
التمرين 33: حل المعادلة اللوغاريتمية المعقدة:
log_x(2) + log_2(x) = 5/2
الحل: بتغيير الأساس نفرض y = log_2(x).
1/y + y = 5/2 ⇒ 2y^2 – 5y + 2 = 0 ⇒ (2y – 1)(y – 2) = 0
y = 2 ⇒ log_2(x) = 2 ⇒ x = 4
y = 1/2 ⇒ log_2(x) = 1/2 ⇒ x = √2
التمرين 34: أوجد النهاية:
lim (x → +∞) x * [ln(x + 1) – ln(x)]
الحل: باستخدام خواص اللوغاريتم وتغيير المتحول.
= lim x * ln(1 + 1/x)
Let t = 1/x. As x → +∞, t → 0
lim (t → 0) (1/t) * ln(1 + t) = ln(e) = 1
التمرين 35: اشتق التابع من أجل x > 0:
f(x) = x^x
الحل: باستخدام الاشتقاق اللوغاريتمي.
y = x^x ⇒ ln(y) = x * ln(x)
y’/y = 1*ln(x) + x*(1/x) = ln(x) + 1
y’ = x^x * (ln(x) + 1)
التمرين 36: أوجد متسلسلة تايلور للتابع جوار x = 0:
f(x) = ln(1+x)
الحل:
Series: Σ ((-1)^(n-1) * x^n) / n, for n=1 to ∞
= x – x^2/2 + x^3/3 – x^4/4 + …
التمرين 37: احسب التكامل غير المحدد:
∫ (ln(x))^2 dx
الحل: تطبيق المكاملة بالتجزئة مرتين.
= x*(ln(x))^2 – 2∫ ln(x) dx
= x*(ln(x))^2 – 2x*ln(x) + 2x + C
التمرين 38: أوجد مجموعة تعريف التابع:
f(x) = ln( (x^2 – 1) / (x^2 + x – 6) )
الحل: بدراسة إشارة الكسر.
(x-1)(x+1) / [(x+3)(x-2)] > 0
Domain: (-∞, -3) U (-1, 1) U (2, +∞)
التمرين 39: أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية:
x * (dy/dx) = y + x^2 * sin(x)
الحل: باستخدام عامل التكميل اللوغاريتمي.
dy/dx – (1/x)y = x * sin(x)
Integrating factor P(x) = e^(∫(-1/x)dx) = 1/x
d/dx [y/x] = sin(x) ⇒ y/x = -cos(x) + C ⇒ y = -x*cos(x) + C*x
التمرين 40: ادرس تقعر المنحني للتابع وأوجد نقاط الانعطاف:
f(x) = x^2 * ln(x)
الحل: بإيجاد المشتق الثاني.
f”(x) = 2*ln(x) + 3 = 0 ⇒ x = e^(-1.5)
Inflection point at x = e^(-1.5). Concave down for x < e^(-1.5), concave up for x > e^(-1.5).
القسم ب: المعادلات المتقدمة والتطبيقات (41-50)
التمرين 41: حل جملة المعادلتين (حيث x,y > 0):
x^y = y^x
y = 2x
الحل: بالتعويض وأخذ اللوغاريتم للطرفين.
x^(2x) = (2x)^x ⇒ 2x*ln(x) = x*ln(2x)
2*ln(x) = ln(2) + ln(x) ⇒ ln(x) = ln(2) ⇒ x = 2, y = 4
التمرين 42: احسب النهاية باستخدام مجاميع ريمان لتكامل محدد يحوي اللوغاريتم:
lim (n → ∞) Σ (k=1 to n) 1 / (n + k)
الحل:
= (1/n) * Σ [1 / (1 + k/n)] ⇒ ∫_0^1 1/(1+x) dx
= [ln(1+x)]_0^1 = ln(2)
التمرين 43: حل المعادلة بالنسبة لـ x بدلالة تابع لامبرت (Lambert W function):
ln(x) = x/3
الحل:
x = e^(x/3) ⇒ (-x/3)*e^(-x/3) = -1/3
-x/3 = W(-1/3) ⇒ x = -3 * W(-1/3)
التمرين 44: احسب مساحة السطح المحصور بين:
y = ln(x) , y = 0 , x = e^2
الحل:
Area = ∫_1^(e^2) ln(x) dx = [x*ln(x) – x]_1^(e^2)
= (2e^2 – e^2) – (0 – 1) = e^2 + 1
التمرين 45: اشتق ضمنياً لإيجاد y’:
ln(x*y) = x^2 + y^2
الحل:
1/x + (1/y)*y’ = 2x + 2y*y’
y’ = (2x – 1/x) / (1/y – 2y) = (2x^2 – 1)*y / [x*(1 – 2y^2)]
التمرين 46: أوجد القيمة الصغرى المطلقة للتابع من أجل x > 0:
f(x) = e^x – ln(x)
الحل:
f'(x) = e^x – 1/x = 0 ⇒ x*e^x = 1 ⇒ x = W(1)
Min value = e^W(1) – ln(W(1)) = 1/W(1) + W(1)
التمرين 47: احسب التكامل المعتمد على تغيير المتحول أو المكاملة بالتجزئة المتعلقة باللوغاريتم والأس:
∫ (x * e^x) / (1 + x)^2 dx
الحل:
Let u = x*e^x, dv = (1+x)^(-2) dx
Result = e^x / (1+x) + C
التمرين 48: أثبت صحة المتراجحة لجميع قيم x > 0:
ln(x) ≤ x – 1
الحل: بدراسة تغيرات التابع المساعد.
Let g(x) = x – 1 – ln(x). g'(x) = (x-1)/x.
Min occurs at x=1 where g(1)=0. Thus g(x) ≥ 0 ⇒ ln(x) ≤ x – 1
التمرين 49: حل المعادلة التفاضلية التكاملية علماً أن y(1) = 2:
y'(x) = ∫_1^x (ln(t)/t) dt
الحل: نكامل الطرف الأيمن أولاً ثم نكامل مرة أخرى لإيجاد التابع y.
y'(x) = (1/2)*(ln(x))^2
y(x) = (1/2)[x*(ln(x))^2 – 2x*ln(x) + 2x] + C
y(1) = 2 ⇒ 1 + C = 2 ⇒ C = 1
y(x) = (x/2)*(ln(x))^2 – x*ln(x) + x + 1
التمرين 50: احسب النهاية باستخدام نشر المتسلسلات (Taylor series):
lim (x → 0) [ x – ln(1+x) ] / (x^2)
الحل: بالاعتماد على منشور ln(1+x).
x – (x – x^2/2 + x^3/3 – …) = x^2/2 – x^3/3 + …
Divide by x^2: limit as x→0 is 1/2
