مقدمة في النسبة والتناسب
تعتبر النسبة والتناسب من أهم المفاهيم الرياضية التي نستخدمها في حياتنا اليومية. قمنا بجمع 30 تمريناً ومسألة تغطي كافة المستويات مع الحلول المفصلة.
المستوى الأول: أساسيات النسبة (التمارين 1 – 10)
التمرين 1
أوجد قيمة x في التناسب التالي:
الحل: بضرب الطرفين في الوسطين:
التمرين 2
إذا كانت النسبة a : b تساوي 5 : 7 وكانت a = 15، فما قيمة b؟
الحل:
التمرين 3
بسط النسبة التالية لأبسط صورة: 24 : 36
الحل: بقسمة الطرفين على القاسم المشترك الأكبر (12):
التمرين 4
أوجد الرابع المتناسب للأعداد 3, 4, 9.
الحل: نفرض العدد x:
التمرين 5
قسم مبلغ 100 $ بين شخصين بنسبة 2 : 3.
الحل: مجموع الأجزاء 2 + 3 = 5.
20 × 2 = 40 $
20 × 3 = 60 $
التمرين 6
حول الكسر 3 / 4 إلى نسبة مئوية.
الحل:
التمرين 7
هل النسبتان 8 / 12 و 10 / 15 متساويتان؟
الحل: بالتبسيط:
10 / 15 = 2 / 3
نعم، متساويتان.
التمرين 8
أوجد قيمة y في التناسب التالي:
الحل:
التمرين 9
نسبة طول مستطيل إلى عرضه 5 : 2. إذا كان العرض 10 cm، فما طوله؟
الحل: نفرض الطول L:
التمرين 10
وزع رجل 500 kg من الأرز على عائلتين بنسبة 1 : 4. ما نصيب العائلة الأكبر؟
الحل: مجموع الأجزاء 5.
4 × 100 = 400 kg
المستوى الثاني: التناسب الطردي والعكسي (التمارين 11 – 20)
التمرين 11
تنتج آلة 150 قطعة في 3 ساعات. كم قطعة تنتج في 5 ساعات؟
الحل: تناسب طردي.
التمرين 12
يستطيع 4 عمال إنهاء بناء جدار في 6 أيام. كم يوماً يحتاج 8 عمال لإنهاء نفس الجدار؟
الحل: تناسب عكسي.
التمرين 13
سيارة تسير بسرعة 80 km/h تصل في 2 ساعة. ما السرعة المطلوبة لتصل في 1.5 ساعة؟
الحل: تناسب عكسي.
التمرين 14
سعر 5 kg من التفاح هو 15 $. ما سعر 12 kg؟
الحل: تناسب طردي.
التمرين 15
إذا كانت x تتناسب طردياً مع y، وكانت x = 10 عندما y = 2. أوجد x عندما y = 7.
الحل: ثابت التناسب k:
x = 5 × 7 = 35
التمرين 16
إذا كانت a تتناسب عكسياً مع b، وكانت a = 4 عندما b = 3. أوجد a عندما b = 6.
الحل:
a × 6 = 12 ⇒ a = 2
التمرين 17
خريطة مرسومة بمقياس 1 : 500000. المسافة بين مدينتين على الخريطة 4 cm. ما المسافة الحقيقية؟
الحل:
2000000 / 100000 = 20 km
التمرين 18
مزرعة بها دجاج وبقر بنسبة 5 : 2. إذا كان عدد الأبقار 40، فما عدد الدجاج؟
الحل: نفرض عدد الدجاج C:
التمرين 19
تقاسم ثلاثة شركاء ربحاً مقداره 6000 $ بنسبة 1 : 2 : 3. كم نصيب الأول؟
الحل: مجموع الأجزاء = 6.
1 × 1000 = 1000 $
التمرين 20
يستهلك محرك 8 L من الوقود لقطع 100 km. كم لتراً يحتاج لقطع 250 km؟
الحل:
المستوى الثالث: مسائل متقدمة وتطبيقات (التمارين 21 – 30)
التمرين 21
سبيكة معدنية تتكون من النحاس والزنك بنسبة 7 : 3. إذا كان وزن السبيكة 50 kg، فما وزن النحاس؟
الحل: الأجزاء الكلية = 10.
التمرين 22
إذا كانت A : B = 2 : 3 و B : C = 4 : 5. أوجد النسبة A : B : C.
الحل: نوحد قيمة B (المضاعف المشترك هو 12).
B : C = 12 : 15
A : B : C = 8 : 12 : 15
التمرين 23
محيط مثلث 24 cm، ونسبة أطوال أضلاعه 3 : 4 : 5. أوجد أطوال الأضلاع.
الحل: الأجزاء = 12.
3 × 2 = 6 cm
4 × 2 = 8 cm
5 × 2 = 10 cm
التمرين 24
مضختان تملآن خزاناً. الأولى تملأه في 3 ساعات والثانية في 6 ساعات. كم ساعة تحتاجان معاً؟
الحل: معدل الأولى 1/3 والثانية 1/6.
T = 2 h
التمرين 25
زادت أرباح شركة بنسبة 15 % لتصبح 46000 $. كم كانت الأرباح الأصلية؟
الحل:
X = (46000 × 100) / 115 = 40000 $
التمرين 26
خليط من الماء والكحول حجمه 40 L بنسبة 3 : 1 للماء. كم لتراً من الماء يجب إضافته لتصبح النسبة 4 : 1؟
الحل: الماء الحالي = 30 L، الكحول = 10 L.
40 – 30 = 10 L
التمرين 27
إذا كان (x + y) / (x – y) = 5 / 2. أوجد النسبة x / y.
الحل:
2x + 2y = 5x – 5y
7y = 3x ⇒ x / y = 7 / 3
التمرين 28
يستغرق قطار طوله 200 m عبور نفق طوله 400 m بسرعة 72 km/h. كم ثانية يستغرق العبور؟
الحل: المسافة الكلية = 600 m.
t = 600 / 20 = 30 s
التمرين 29
عمر الأب يبلغ 3 أضعاف عمر ابنه. بعد 10 سنوات، تصبح النسبة 2 : 1. كم عمر الابن الآن؟
الحل: نفرض عمر الابن x والأب 3x.
3x + 10 = 2x + 20 ⇒ x = 10
التمرين 30
في وعاء، نسبة الكرات الحمراء إلى الزرقاء 5 : 8. إذا سحبنا 15 كرة زرقاء تصبح النسبة 5 : 3. كم عدد الكرات الحمراء؟
الحل: نفرض الحمراء 5k والزرقاء 8k.
15k = 40k – 75
25k = 75 ⇒ k = 3
5 × 3 = 15
خاتمة
تدربك المستمر على هذه التمارين يضمن لك فهماً عميقاً لقواعد النسبة والتناسب، مما ينعكس إيجاباً على سرعتك ودقتك في حل المسائل الرياضية.
