تمارين ومسائل محلولة عن النهايات (Limits)
تعتبر النهايات (Limits) من أهم المفاهيم الأساسية في علم التفاضل والتكامل. قمنا في هذه المقالة بجمع 30 تمريناً ومسألة محلولة بالتفصيل، مقسمة إلى ثلاثة مستويات لتناسب المبتدئين، والمتوسطين، والمتقدمين.
المستوى الأول: التعويض المباشر والتحليل الجبري البسيط
في هذا المستوى، نعتمد على التعويض المباشر، وفي حال الحصول على حالة عدم تعيين (0/0)، نلجأ للتحليل الجبري والاختصار.
التمرين 1
احسب النهاية التالية:
الحل:
نقوم بالتعويض المباشر:
التمرين 2
أوجد قيمة النهاية:
الحل:
بالتعويض المباشر:
التمرين 3
احسب النهاية التالية المشتملة على كسر:
الحل:
التعويض المباشر يعطي (0/0). نحلل البسط كفرق بين مربعين:
= lim x → 3 (x + 3)
= 3 + 3 = 6
التمرين 4
أوجد قيمة:
الحل:
بالتحليل والاختصار:
= 5 + 5 = 10
التمرين 5
احسب النهاية:
الحل:
نحلل ثلاثية الحدود في البسط:
= lim x → 2 (x + 1) = 2 + 1 = 3
التمرين 6
أوجد:
الحل:
بأخذ العامل المشترك في البسط:
= lim x → 0 (x – 4) = 0 – 4 = -4
التمرين 7
احسب النهاية:
الحل:
نحلل الفرق بين مكعبين:
= lim x → 1 (x2 + x + 1) = 1 + 1 + 1 = 3
التمرين 8
أوجد قيمة:
الحل:
التعويض المباشر أسفل الجذر:
التمرين 9
احسب:
الحل:
تعويض مباشر بسيط:
التمرين 10
أوجد النهاية التالية:
الحل:
بما أنها كثيرة حدود، نعوض مباشرة:
المستوى الثاني: اللانهاية، الضرب بالمرافق، والنهايات المثلثية
يتضمن هذا المستوى التعامل مع النهايات عند اللانهاية، استخدام المرافق للتخلص من الجذور، والنهايات الشهيرة للدوال المثلثية.
التمرين 11
احسب النهاية عند اللانهاية:
الحل:
بما أن درجة البسط تساوي درجة المقام، فإن النهاية هي معامل أكبر أس في البسط على معامل أكبر أس في المقام:
التمرين 12
أوجد:
الحل:
نفس القاعدة السابقة لتساوي الدرجات:
التمرين 13
احسب:
الحل:
بما أن درجة المقام أكبر من درجة البسط، فإن النهاية تؤول إلى الصفر:
التمرين 14
أوجد قيمة:
الحل:
بما أن درجة البسط أكبر من درجة المقام، فالنهاية تؤول إلى اللانهاية:
التمرين 15
احسب النهاية باستخدام المرافق:
الحل:
نضرب البسط والمقام في مرافق البسط (√x + 3):
= lim x → 9 [ 1 / (√x + 3) ]
= 1 / (√9 + 3) = 1 / 6
التمرين 16
أوجد:
الحل:
نضرب بمرافق البسط:
= lim x → 4 [ 1 / (√(x + 5) + 3) ]
= 1 / (3 + 3) = 1 / 6
التمرين 17
احسب نهاية الدالة المثلثية:
الحل:
باستخدام القاعدة الشهيرة لنهايات الجيب:
التمرين 18
أوجد قيمة:
الحل:
بقسمة البسط والمقام على x وتطبيق القاعدة:
التمرين 19
احسب:
الحل:
نهاية الظل مطابقة لنهاية الجيب في هذه الحالة:
التمرين 20
أوجد:
الحل:
هذه نهاية مثلثية شهيرة، قيمتها دائماً:
المستوى الثالث: قاعدة لوبيتال والدوال الأسية (متقدم)
في هذا المستوى نتعامل مع حالات عدم التعيين المعقدة باستخدام قاعدة لوبيتال (L’Hôpital’s Rule)، والنهايات الأسية واللوغاريتمية.
التمرين 21
احسب النهاية:
الحل:
بتطبيق قاعدة لوبيتال (اشتقاق البسط واشتقاق المقام):
= e0 = 1
التمرين 22
أوجد:
الحل:
بتطبيق قاعدة لوبيتال:
= 1 / (1 + 0) = 1
التمرين 23
احسب:
الحل:
بتطبيق قاعدة لوبيتال مرتين:
تطبيق القاعدة الشهيرة: = 2
التمرين 24
أوجد النهاية الأسية الشهيرة:
الحل:
هذا هو التعريف الأساسي للعدد النيبيري e:
التمرين 25
احسب:
الحل:
بناءً على القاعدة المعممة للنهاية السابقة:
التمرين 26
أوجد:
الحل:
بتطبيق قاعدة لوبيتال 3 مرات متتالية (لوجود 0/0):
المرة 2: lim [ sin(x) / 6x ]
المرة 3: lim [ cos(x) / 6 ] = 1 / 6
التمرين 27
احسب:
الحل:
باستخدام قاعدة لوبيتال:
= 1 / 1 = 1
التمرين 28
أوجد قيمة:
الحل:
لوبيتال مرتين:
الثانية: lim [ 2e2x / 1 ] = 2(1) = 2
التمرين 29
احسب النهاية باستخدام الاستبدال:
الحل:
نفرض أن t = 1/x، عندما x تؤول للانهاية، t تؤول للصفر:
التمرين 30
أوجد النهاية (حالة ∞ – ∞):
الحل:
نضرب ونقسم على المرافق:
= lim x → ∞ [ x / (√(x2(1 + 1/x)) + x) ]
بقسمة البسط والمقام على x:
= 1 / ( √(1 + 0) + 1 ) = 1 / 2
خاتمة
إتقان النهايات (Limits) هو المفتاح لفهم التفاضل والتكامل بشكل صحيح. يُنصح دائماً بإعادة حل هذه التمارين بنفسك دون النظر للحلول لاختبار مدى فهمك للقواعد الأساسية مثل التعويض المباشر، التحليل، قاعدة لوبيتال، والنهايات الخاصة بالدوال المثلثية والأسية.
