تمارين ومسائل محلولة عن المثلثات المتشابهة
المستوى السهل (1-5)
التمرين 1:
مثلثان متشابهان، أطوال أضلاع الأول: 3 cm، 4 cm، 5 cm
وطول أحد أضلاع الثاني: 6 cm (يقابل الضلع 3 cm). أوجد باقي الأضلاع.
الحل:
- نسبة التشابه = 6 ÷ 3 = 2
- الضلع الثاني = 4 × 2 = 8 cm
- الضلع الثالث = 5 × 2 = 10 cm
التمرين 2:
في المثلث ABC، رُسم DE // BC حيث D على AB و E على AC.
إذا كان AD = 4 cm، DB = 2 cm، AE = 6 cm، أوجد EC.
الحل:
- بما أن DE // BC، فإن المثلثين ADE و ABC متشابهان
- AD/AB = AE/AC
- 4/6 = 6/AC
- 4/(4+2) = 6/(6+EC)
- 4/6 = 6/(6+EC)
- 4(6+EC) = 36
- 24 + 4EC = 36
- EC = 3 cm
التمرين 3:
مثلثان متشابهان، محيط الأول 24 cm ومحيط الثاني 36 cm.
إذا كان أحد أضلاع الأول 8 cm، أوجد الضلع المقابل في الثاني.
الحل:
- نسبة التشابه = 36 ÷ 24 = 3/2
- الضلع المقابل = 8 × (3/2) = 12 cm
التمرين 4:
في مثلثين متشابهين، النسبة بين ضلعين متقابلين 2:5.
إذا كان مساحة المثلث الأصغر 12 cm². أوجد مساحة المثلث الأكبر.
الحل:
- نسبة المساحات = مربع نسبة الأضلاع
- نسبة المساحات = (5/2)² = 25/4
- مساحة المثلث الأكبر = 12 × (25/4) = 75 cm²
التمرين 5:
مثلث ABC فيه زاويتان: ∠A = 50°، ∠B = 60°
مثلث XYZ فيه: ∠X = 50°، ∠Y = 60°
هل المثلثان متشابهان؟
الحل:
- نعم، المثلثان متشابهان
- السبب: تطابقت زاويتان (شرط AA)
- ∠C = 180° – 50° – 60° = 70°
- ∠Z = 180° – 50° – 60° = 70°
- جميع الزوايا متطابقة ✓
المستوى المتوسط (6-10)
التمرين 6:
في شبه المنحرف ABCD حيث AB // DC، القطر AC يقطع القطر BD في M.
إذا كان AB = 12 cm، DC = 8 cm، DM = 6 cm، أوجد MB.
الحل:
- المثلثان AMB و CMD متشابهان
- AB/DC = MB/MD
- 12/8 = MB/6
- 3/2 = MB/6
- MB = 9 cm
التمرين 7:
مثلث قائم الزاوية، ارتفاعه على الوتر يقسمه إلى قطعتين طولهما 4 cm و 9 cm.
أوجد طول الارتفاع.
الحل:
- في المثلث القائم: (الارتفاع)² = حاصل ضرب القطعتين
- h² = 4 × 9 = 36
- h = 6 cm
التمرين 8:
مثلثان متشابهان، نسبة التشابه 3:4.
إذا كان ارتفاع الأول 9 cm، أوجد ارتفاع الثاني.
الحل:
- نسبة الارتفاعات = نسبة الأضلاع
- 9/h = 3/4
- h = 9 × 4/3 = 12 cm
التمرين 9:
في المثلث ABC، النقطة D على BC بحيث AD ينصف الزاوية A.
إذا كان AB = 6 cm، AC = 9 cm، BC = 10 cm، أوجد BD.
الحل:
- بحسب نظرية منصف الزاوية:
- AB/AC = BD/DC
- 6/9 = BD/(10-BD)
- 6(10-BD) = 9BD
- 60 – 6BD = 9BD
- 60 = 15BD
- BD = 4 cm
التمرين 10:
مثلث أضلاعه 5، 12، 13 cm. أوجد أضلاع مثلث مشابه له مساحته 4 أمثال مساحة الأول.
الحل:
- نسبة المساحات = 4
- نسبة الأضلاع = √4 = 2
- أضلاع المثلث الجديد:
- 5 × 2 = 10 cm
- 12 × 2 = 24 cm
- 13 × 2 = 26 cm
المستوى المتقدم (11-15)
التمرين 11:
برج ارتفاعه الحقيقي مجهول يلقي ظلاً طوله 15 m.
في نفس الوقت، عمود طوله 2 m يلقي ظلاً طوله 3 m. أوجد ارتفاع البرج.
الحل:
- المثلثان الناتجان عن الشمس متشابهان
- ارتفاع البرج / ظل البرج = ارتفاع العمود / ظل العمود
- h/15 = 2/3
- h = 15 × 2/3 = 10 m
التمرين 12:
في المثلث ABC القائم في A، رُسم AD عمودي على BC.
إذا كان BD = 3 cm، DC = 12 cm، أوجد AB و AC و AD.
الحل:
المثلثات الثلاثة متشابهة:
- BC = 3 + 12 = 15 cm
- AB² = BD × BC = 3 × 15 = 45 → AB = 3√5 cm
- AC² = DC × BC = 12 × 15 = 180 → AC = 6√5 cm
- AD² = BD × DC = 3 × 12 = 36 → AD = 6 cm
التمرين 13:
أثبت أن المثلث الذي أضلاعه 6، 8، 10 يشابه المثلث الذي أضلاعه 9، 12، 15.
الحل:
- نرتب الأضلاع: 6، 8، 10 و 9، 12، 15
- نفحص النسب:
- 6/9 = 2/3
- 8/12 = 2/3
- 10/15 = 2/3
- النسب متساوية، إذن المثلثان متشابهان (SSS) ✓
التمرين 14:
شخص طوله 1.7 m يقف على بعد 8 m من قاعدة عمود إنارة.
إذا كان طول ظله 2 m، أوجد ارتفاع عمود الإنارة.
الحل:
- المسافة الكلية من العمود لنهاية الظل = 8 + 2 = 10 m
- بالتشابه:
- h/10 = 1.7/2
- h = 10 × 1.7/2 = 8.5 m
التمرين 15:
في المثلث ABC، القطعة DE // BC حيث D على AB و E على AC.
مساحة المثلث ADE = 16 cm²، مساحة شبه المنحرف BCED = 20 cm².
أوجد نسبة AD:DB.
الحل:
- مساحة ABC = 16 + 20 = 36 cm²
- نسبة مساحة ADE إلى ABC = 16/36 = 4/9
- نسبة الأضلاع = √(4/9) = 2/3
- AD/AB = 2/3
- إذن AD = 2k و AB = 3k
- DB = 3k – 2k = k
- AD:DB = 2:1
ملخص شروط التشابه:
الشروط الثلاثة لتشابه المثلثات:
✅ AA (Angle-Angle) – تطابق زاويتين
- إذا تطابقت زاويتان من مثلث مع زاويتين من مثلث آخر، فإن المثلثين متشابهان
✅ SSS (Side-Side-Side) – تناسب الأضلاع الثلاثة
- إذا كانت أضلاع مثلث متناسبة مع أضلاع مثلث آخر، فإن المثلثين متشابهان
✅ SAS (Side-Angle-Side) – تناسب ضلعين وتطابق الزاوية المحصورة
- إذا تناسب ضلعان من مثلث مع ضلعين من مثلث آخر، وتطابقت الزاوية المحصورة بينهما، فإن المثلثين متشابهان
شرح الرموز:
- AA = Angle-Angle (زاوية-زاوية)
- SSS = Side-Side-Side (ضلع-ضلع-ضلع)
- SAS = Side-Angle-Side (ضلع-زاوية-ضلع)
ملاحظة مهمة:
- نسبة المساحات = مربع نسبة الأضلاع 📊
- نسبة المحيطات = نسبة الأضلاع 📏
المصداقية والمراجعة:
✓ بيان المراجعة:
جرت مراجعة هذا المقال من قبل فريق التحرير في موقعنا لضمان الدقة والمعلومة الصحيحة. تم التحقق من جميع الحلول الرياضية والخطوات الحسابية بعناية فائقة.
📋 المصداقية:
- جميع التمارين والمسائل معدّة وفقاً للمناهج الدراسية المعتمدة
- الحلول مُفصّلة خطوة بخطوة لسهولة الفهم والاستيعاب
- تم تصنيف التمارين حسب مستويات الصعوبة (سهل، متوسط، متقدم)
- استخدام الرموز والمصطلحات الرياضية الدولية المعتمدة (AA, SSS, SAS)
⚠️ إخلاء المسؤولية:
- هذا المحتوى مقدم لأغراض تعليمية فقط
- ننصح بمراجعة المعلم أو المختص عند وجود أي استفسارات إضافية
- قد تختلف طرق الحل باختلاف المناهج الدراسية في بلدك
- نحن غير مسؤولين عن أي استخدام خاطئ للمعلومات المقدمة
- يُنصح بالتدرب على حل التمارين بنفسك قبل الاطلاع على الحلول
تاريخ المراجعة الأخيرة: 2025
حقوق النشر: جميع الحقوق محفوظة © موقعنا
