المعادلات الخطية هي أساس الجبر. في هذا المقال، نقدم لكم 30 تمريناً ومسألة تغطي كافة المستويات، بدءاً من الأساسيات وصولاً إلى المسائل التطبيقية المعقدة.
المستوى الأول: أساسيات المعادلات الخطية (خطوة وخطوتين)
التمرين 1: أوجد قيمة المتغير x في المعادلة التالية:
الحل:
نطرح 7 من طرفي المعادلة:
x = 8
التمرين 2: حل المعادلة التالية:
الحل:
نجمع 4 لطرفي المعادلة:
y = 14
التمرين 3: أوجد قيمة z:
الحل:
نقسم طرفي المعادلة على 5:
z = 7
التمرين 4: حل المعادلة الكسرية البسيطة:
الحل:
نضرب طرفي المعادلة في 4:
w = 24
التمرين 5: معادلة بخطوتين:
الحل:
نطرح 3 من الطرفين، ثم نقسم على 2:
2x = 8
x = 4
التمرين 6: حل المعادلة التالية:
الحل:
نجمع 5 للطرفين، ثم نقسم على 3:
3y = 21
y = 7
التمرين 7: أوجد قيمة m:
الحل:
نقسم على -4:
m = -6
التمرين 8: حل المعادلة:
الحل:
نطرح 5 ثم نضرب في 2:
x / 2 = 4
x = 8
التمرين 9: أوجد قيمة k:
الحل:
نطرح 7 من الطرفين ثم نقسم على -2:
-2k = 8
k = -4
التمرين 10: حل المعادلة:
الحل:
نطرح 2 ثم نقسم على 0.5 (وهو ما يعادل الضرب في 2):
x = 3 / 0.5
x = 6
المستوى الثاني: المتغيرات في كلا الطرفين واستخدام الأقواس
التمرين 11: حل المعادلة بوجود المتغير x في الطرفين:
الحل:
نجمع المتغيرات في طرف والأعداد في طرف:
2x = 8
x = 4
التمرين 12: فك الأقواس وحل المعادلة:
الحل:
يمكننا القسمة على 4 مباشرة ثم إضافة 2:
y – 2 = 3
y = 5
التمرين 13: حل المعادلة التالية:
الحل:
نوزع أو نقسم على 3، سنقوم بالقسمة للتسهيل:
2m = 4
m = 2
التمرين 14: أوجد قيمة x:
الحل:
نفك الأقواس وننتبه لإشارة السالب:
4x + 3 = 11
4x = 8
x = 2
التمرين 15: معادلة بكسور مقامها موحد:
الحل:
نضرب الطرفين في 2:
x = 7
التمرين 16: حل المعادلة:
الحل:
نفك الأقواس في كلا الطرفين:
8 + 3 = 3w – 2w
11 = w
التمرين 17: معادلة تتضمن أعداداً عشرية:
الحل:
للتخلص من الفواصل، نضرب المعادلة كاملة في 10:
3x – x = 8 + 12
2x = 20
x = 10
التمرين 18: أوجد قيمة y:
الحل:
نوزع إشارة السالب:
6 = 3y + 2y
6 = 5y
y = 1.2
التمرين 19: حل المعادلة:
الحل:
نوحد المقامات (المقام المشترك هو 6):
5x / 6 = 5
5x = 30
x = 6
التمرين 20: حل المعادلة:
الحل:
نستخدم الضرب التبادلي:
4x – 2 = 3x + 6
4x – 3x = 6 + 2
x = 8
المستوى الثالث: الحالات الخاصة والمعادلات المتقدمة
التمرين 21: معادلة ذات حلول لا نهائية (متطابقة):
الحل:
نبسط كلا الطرفين:
5x + 2 = 5x + 2
0 = 0
بما أن الطرفين متطابقان، فإن المعادلة لها عدد لا نهائي من الحلول.
التمرين 22: معادلة ليس لها حل (مستحيلة):
الحل:
نفك الأقواس ونبسط:
-5 = 6
هذه عبارة رياضية خاطئة، بالتالي المعادلة ليس لها حل (مجموعة الحلول خالية).
التمرين 23: حل معادلة بأقواس متداخلة:
الحل:
نفك الأقواس الداخلية أولاً ثم الخارجية:
2[4 – x] = 4x
8 – 2x = 4x
8 = 6x
x = 8 / 6 = 4 / 3
التمرين 24: المعادلة الحرفية (حل لإيجاد y بدلالة x):
الحل:
نعزل المتغير y في طرف لوحده:
y = (12 – 3x) / 2
y = 6 – 1.5x
التمرين 25: حل معادلة تحوي كسوراً معقدة:
الحل:
نضرب المعادلة كلها في 4 (المضاعف المشترك الأصغر):
2x – (x – 3) = 12
2x – x + 3 = 12
x + 3 = 12
x = 9
المستوى الرابع: المسائل اللفظية والتطبيقات الحياتية
المسألة 26: عددان صحيحان متتاليان مجموعهما 35. ما هما العددان؟
الحل:
نفرض أن العدد الأول هو x، فيكون العدد المتتالي له هو (x + 1).
2x = 34
x = 17
إذن، العدد الأول هو 17 والعدد الثاني هو 18.
المسألة 27: مستطيل طوله (L) ضعف عرضه (w). إذا كان محيطه يساوي 30 cm، فما هي أبعاده؟
الحل:
نعلم أن L = 2w. قانون المحيط هو:
2(3w) = 30
6w = 30
w = 5 cm
بما أن العرض w = 5 cm، فإن الطول L = 10 cm.
المسألة 28: عمر الأب يعادل 3 أضعاف عمر ابنه. بعد 5 سنوات، سيصبح مجموع عمريهما 42 سنة. كم عمر الابن الآن؟
الحل:
نفرض عمر الابن الآن هو x، وعمر الأب 3x. بعد 5 سنوات يصبح عمر الابن (x + 5) وعمر الأب (3x + 5).
4x = 32
x = 8
عمر الابن الآن هو 8 سنوات (وعمر الأب 24 سنة).
المسألة 29: انطلقت سيارتان من نفس النقطة في اتجاهين متعاكسين. سرعة السيارة الأولى 60 km/h وسرعة الثانية 80 km/h. بعد كم ساعة (t) تصبح المسافة بينهما 280 km؟
الحل:
المسافة الكلية تساوي مجموع المسافتين المقطوعتين (المسافة = السرعة × الزمن):
t = 280 / 140
t = 2 h
تصبح المسافة بينهما 280 كيلومتراً بعد ساعتين.
المسألة 30: متجر يقدم خصماً بنسبة 20% على هاتف محمول. إذا كان سعر الهاتف بعد الخصم هو 120 $، فما هو سعره الأصلي (p) قبل الخصم؟
الحل:
السعر بعد الخصم يمثل 80% (أو 0.8) من السعر الأصلي:
p = 120 / 0.8
p = 150 $
السعر الأصلي للهاتف قبل الخصم هو 150 دولاراً.
نرجو أن تكون هذه التمارين والمسائل قد ساعدتكم في تعزيز فهمكم وطرق حل المعادلات الخطية بمختلف مستوياتها.
