مقدمة في التابع كثير الحدود من الدرجة الثانية
في هذا المقال، نستعرض 50 تمريناً ومسألة تغطي كافة المستويات لفهم واستيعاب التابع كثير الحدود من الدرجة الثانية.
f(x) = ax^2 + bx + c
المستوى الأول: إيجاد الجذور المباشرة
التمارين التالية تركز على الحالات البسيطة حيث يمكن الحل مباشرة أو بأخذ الجذر.
التمارين 1 – 10: الجذور الأساسية (المباشرة)
التمرين 1
أوجد جذور التابع:
f(x) = x^2 - 4الحل:
x^2 = 4 => x = 2 , x = -2التمرين 2
أوجد جذور التابع:
f(x) = x^2 - 9الحل:
x^2 = 9 => x = 3 , x = -3التمرين 3
أوجد جذور التابع:
f(x) = 2x^2 - 18الحل:
2x^2 = 18 => x^2 = 9 => x = 3 , x = -3التمرين 4
أوجد جذور التابع:
f(x) = x^2 = 0الحل: (جذر مضاعف)
x = 0التمرين 5
أوجد جذور التابع:
f(x) = x^2 + 1الحل: (مستحيلة الحل في R)
x^2 = -1التمرين 6
حل المعادلة التالية:
f(x) = 3x^2 - 12 = 0الحل:
x^2 = 4 => x = 2 , x = -2التمرين 7
حل المعادلة التالية:
f(x) = -x^2 + 16 = 0الحل:
x^2 = 16 => x = 4 , x = -4التمرين 8
حل المعادلة التالية:
f(x) = 5x^2 - 20 = 0الحل:
x^2 = 4 => x = 2 , x = -2التمرين 9
أوجد أصفار التابع:
f(x) = x^2 - 25الحل:
x = 5 , x = -5التمرين 10
أوجد أصفار التابع:
f(x) = 4x^2 - 1الحل:
x^2 = 1/4 => x = 1/2 , x = -1/2المستوى الثاني: التحليل المباشر وإخراج عامل مشترك
التمارين 11 – 20: التحليل واستخراج العامل المشترك
التمرين 11
أوجد جذور التابع:
f(x) = x^2 - 5xالحل:
x(x - 5) = 0 => x = 0 , x = 5التمرين 12
أوجد جذور التابع:
f(x) = 2x^2 + 6xالحل:
2x(x + 3) = 0 => x = 0 , x = -3التمرين 13
حل المعادلة:
f(x) = x^2 - 3x + 2 = 0الحل:
(x - 1)(x - 2) = 0 => x = 1 , x = 2التمرين 14
حل المعادلة:
f(x) = x^2 + 5x + 6 = 0الحل:
(x + 2)(x + 3) = 0 => x = -2 , x = -3التمرين 15
حل المعادلة:
f(x) = x^2 - x - 12 = 0الحل:
(x - 4)(x + 3) = 0 => x = 4 , x = -3التمرين 16
حل المعادلة:
f(x) = x^2 + x - 20 = 0الحل:
(x + 5)(x - 4) = 0 => x = -5 , x = 4التمرين 17
أوجد الأصفار:
f(x) = x^2 - 7x + 10الحل:
(x - 2)(x - 5) = 0 => x = 2 , x = 5التمرين 18
أوجد الأصفار:
f(x) = x^2 + 8x + 15الحل:
(x + 3)(x + 5) = 0 => x = -3 , x = -5التمرين 19
حل المعادلة:
f(x) = -x^2 + 4x = 0الحل:
-x(x - 4) = 0 => x = 0 , x = 4التمرين 20
حل المعادلة:
f(x) = x^2 - 2x + 1 = 0الحل: (جذر مضاعف)
(x - 1)^2 = 0 => x = 1المستوى الثالث: استخدام المميز (ديلتا)
التمارين 21 – 30: حساب المميز وإيجاد الجذور
التمرين 21
احسب ديلتا وجذور التابع:
f(x) = 2x^2 - 5x + 2الحل:
D = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9x1 = (5+3)/4 = 2 , x2 = (5-3)/4 = 1/2التمرين 22
حل المعادلة:
f(x) = 3x^2 + 2x - 1 = 0الحل:
D = 4 - 4(3)(-1) = 16x1 = 1/3 , x2 = -1التمرين 23
حل المعادلة:
f(x) = x^2 + x + 1 = 0الحل: (مستحيلة الحل في R)
D = 1 - 4(1)(1) = -3 < 0التمرين 24
حل المعادلة:
f(x) = 4x^2 - 4x + 1 = 0الحل: (جذر مضاعف)
D = 16 - 16 = 0x = -b/2a = 4/8 = 1/2التمرين 25
حل المعادلة:
f(x) = 5x^2 - 6x + 1 = 0الحل:
D = 36 - 20 = 16x1 = 1 , x2 = 1/5التمرين 26
حل المعادلة:
f(x) = -2x^2 + 3x + 5 = 0الحل:
D = 9 - 4(-2)(5) = 49x1 = -1 , x2 = 5/2التمرين 27
حل المعادلة:
f(x) = x^2 - 6x + 9 = 0الحل: (جذر مضاعف)
D = 36 - 36 = 0x = 3التمرين 28
حل المعادلة:
f(x) = 2x^2 + x + 3 = 0الحل: (مستحيلة في R)
D = 1 - 24 = -23 < 0التمرين 29
حل المعادلة:
f(x) = 6x^2 - 7x + 2 = 0الحل:
D = 49 - 48 = 1x1 = 2/3 , x2 = 1/2التمرين 30
حل المعادلة:
f(x) = x^2 - 10x + 25 = 0الحل: (جذر مضاعف)
D = 0x = 5المستوى الرابع: إيجاد ذروة القطع المكافئ ومحور التناظر
التمارين 31 - 40: الذروة والقيم العظمى والصغرى
التمرين 31
أوجد إحداثيات الذروة للتابع:
f(x) = x^2 - 4x + 3الحل:
x_v = -b/2a = 4/2 = 2y_v = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1V(2, -1)التمرين 32
ما هو محور التناظر للتابع:
f(x) = 2x^2 - 8x + 5الحل:
x = -b/2a = 8/4 = 2التمرين 33
أوجد ذروة التابع وهل هي قيمة كبرى أم صغرى؟
f(x) = -x^2 + 6x - 2الحل: (قيمة كبرى لأن a أصغر من الصفر)
x_v = -6/-2 = 3y_v = f(3) = 7V(3, 7)التمرين 34
أوجد ذروة التابع:
f(x) = x^2 + 2x + 1الحل:
x_v = -1y_v = f(-1) = 0V(-1, 0)التمرين 35
أوجد الذروة للتابع:
f(x) = 3x^2 + 12xالحل:
x_v = -12/6 = -2y_v = f(-2) = -12V(-2, -12)التمرين 36
عين القيمة الصغرى للتابع:
f(x) = x^2 - 10x + 30الحل:
x_v = 5y_v = f(5) = 25 - 50 + 30 = 5التمرين 37
أوجد الذروة للتابع:
f(x) = -2x^2 - 4x + 1الحل:
x_v = 4/-4 = -1y_v = f(-1) = 3V(-1, 3)التمرين 38
أوجد محور التناظر للتابع:
f(x) = 5x^2 + 20x - 4الحل:
x = -20/10 = -2التمرين 39
هل للتابع التالي قيمة عظمى أم صغرى؟ أوجدها.
f(x) = 4x^2 - 8x + 7الحل: (قيمة صغرى لأن a أكبر من الصفر)
x_v = 1y_v = f(1) = 3التمرين 40
أوجد ذروة التابع:
f(x) = 1/2 x^2 - 2x + 3الحل:
x_v = 2 / 1 = 2y_v = f(2) = 1V(2, 1)المستوى الخامس: المتراجحات ودراسة الإشارة
التمارين 41 - 50: المتراجحات ودراسة الإشارة
التمرين 41
حل المتراجحة التالية:
x^2 - 4 > 0الحل:
x in (-inf, -2) U (2, +inf)التمرين 42
حل المتراجحة التالية:
x^2 - 5x + 6 < 0الحل:
x in (2, 3)التمرين 43
حل المتراجحة التالية:
-x^2 + 4x - 3 > 0الحل:
x in (1, 3)التمرين 44
ادرس إشارة التابع:
f(x) = x^2 + x + 1الحل: (الديلتا سالب و a موجب)
f(x) > 0التمرين 45
حل المتراجحة التالية:
x^2 - 2x + 1 <= 0الحل:
(x-1)^2 <= 0 => x = 1التمرين 46
ادرس إشارة التابع:
f(x) = -2x^2 + 8الحل:
f(x) > 0 for x in (-2, 2)f(x) < 0 for x in (-inf, -2) U (2, +inf)التمرين 47
حل المتراجحة التالية:
2x^2 - 5x - 3 >= 0الحل:
x in (-inf, -1/2] U [3, +inf)التمرين 48
حل المتراجحة التالية:
-x^2 - 4 < 0الحل: (الديلتا سالب و a سالب، محققة لجميع قيم R)
x in Rالتمرين 49
ما هي مجموعة تعريف التابع الجذري؟
g(x) = sqrt(x^2 - 9)الحل:
x^2 - 9 >= 0 => x in (-inf, -3] U [3, +inf)التمرين 50
حل المتراجحة التالية:
3x^2 > 12الحل:
x^2 > 4 => x in (-inf, -2) U (2, +inf)
