أضخم مرجع: 50 تمريناً ومسألة عن التابع الأسي مع الحلول التفصيلية
في هذا المقال الشامل، نقدم لك مجموعة متدرجة من التمارين والمسائل حول التابع الأسي، تبدأ من المستويات التأسيسية وتتدرج وصولاً إلى مسائل التحليل والتفاضل والتكامل المعقدة جداً، مع رسومات توضيحية للمسائل التي تحتاج إلى ذلك.
القسم الأول: تمارين أساسية (تبسيط المعادلات وحل المعادلة الأسية)
تمرين 1: بسّط العبارة التالية.
Solution: e2x + 3x = e5x
تمرين 2: أوجد ناتج القسمة.
Solution: e5x – 2x = e3x
تمرين 3: بسّط قوة القوة.
Solution: e3x · 2 = e6x
تمرين 4: حل المعادلة الأسية البسيطة.
Solution: x = ln(1) ⇒ x = 0
تمرين 5: حل المعادلة التالية.
Solution: x – 2 = 5 ⇒ x = 7
تمرين 6: أوجد قيمة المتغير.
Solution: 2x = ln(10) ⇒ x = 0.5 · ln(10)
تمرين 7: حل المعادلة باستخدام اللوغاريتم.
Solution: ex = 4 ⇒ x = ln(4)
تمرين 8: بسّط العبارة التي تحوي لوغاريتم طبيعي.
Solution: 5 (Identity property)
تمرين 9: بسّط العبارة التالية.
Solution: eln(32) = eln(9) = 9
تمرين 10: حل المعادلة التربيعية الأسية (الجزء الأول).
Solution: Let u = ex. u2 – 5u + 6 = 0 ⇒ (u-2)(u-3) = 0 ⇒ ex=2 or ex=3 ⇒ x = ln(2), x = ln(3)
القسم الثاني: المشتقات والنهايات البسيطة والمتوسطة (11-30)
تمرين 11: أوجد مشتق التابع.
Solution: f'(x) = 4e4x
تمرين 12: اشتق التابع التالي.
Solution: f'(x) = 1 · ex + x · ex = ex(1 + x)
تمرين 13: احسب مشتق دالة الكسر.
Solution: f'(x) = (x · ex – ex · 1) / x2 = ex(x – 1) / x2
تمرين 14: اشتق الدالة الأسية المعقدة.
Solution: f'(x) = (2x + 2)ex2 + 2x
تمرين 15: احسب نهاية التابع عند اللانهاية.
Solution: 0
تمرين 16: احسب النهاية عند الناقص لانهاية.
Solution: 0
تمرين 17: استخدم قاعدة لوبيتال لحساب النهاية.
Solution: lim (x → ∞) (ex / 1) = ∞
تمرين 18: أوجد التكامل غير المحدد.
Solution: (1/3)e3x + C
تمرين 19: أوجد تكامل التابع التالي.
Solution: Let u = x2, du = 2x dx. Result = (1/2)ex2 + C
تمرين 20: التكامل بالتجزئة.
Solution: u = x, dv = exdx. ∫ u dv = uv – ∫ v du = x · ex – ex + C = ex(x – 1) + C
تمرين 21: أوجد النهاية الشهيرة.
Solution: 1 (Standard limit by L’Hopital’s rule)
تمرين 22: اشتق الدالة التي تحوي دالة مثلثية.
Solution: f'(x) = cos(x) · esin(x)
تمرين 23: المشتق الثاني للدالة الأسية.
Solution: f'(x) = -2e-2x ⇒ f”(x) = 4e-2x
تمرين 24: تكامل دالة مثلثية مع أسية.
Solution: Let u = sin(x) ⇒ du = cos(x)dx. Result = esin(x) + C
تمرين 25: أوجد القيمة الصغرى للدالة.
Solution: f'(x) = ex – 1 = 0 ⇒ x = 0. f(0) = 1 is the global minimum.
رسم يوضح القيمة الصغرى للدالة f(x) = e^x – x عند النقطة (0, 1)
تمرين 26: حل المتباينة الأسية.
Solution: 2x - 1 > 3 ⇒ 2x > 4 ⇒ x > 2
تمرين 27: تكامل المحدود (حساب المساحة).
Solution: [ex] from 0 to 1 = e1 - e0 = e - 1
المساحة المظللة تحت المنحني e^x بين x=0 و x=1 تمثل قيمة التكامل
تمرين 28: حل المعادلة المدمجة.
Solution: ex + 2 = e3 ⇒ ex = e3 - 2 ⇒ x = ln(e3 - 2)
تمرين 29: احسب النهاية.
Solution: lim (x → ∞) x2 / ex = 0 (By L'Hopital applied twice)
تمرين 30: معادلة المماس لمنحني الدالة.
Solution: f(0) = 1, f'(x) = ex ⇒ f'(0) = 1. Equation: y - 1 = 1(x - 0) ⇒ y = x + 1
المماس y = x + 1 لمنحني الدالة الأسيّة عند النقطة x = 0
القسم الثالث: المسائل المعقدة والمتقدمة جداً (31-50)
هنا ندخل في مستوى متقدم يتضمن المعادلات التفاضلية، دراسة التغيرات الشاملة، تكاملات متقدمة، ومسائل فيزيائية ورياضية معقدة.
المجموعة الأولى (31-40): تحليل متقدم ومعادلات تفاضلية
تمرين 31: دراسة دالة أسية مركبة شاملة.
Solution:
1) Domain: ℜ.
2) Asymptotes: lim(x→∞) f(x) = 0 (y=0 is H.A). lim(x→-∞) f(x) = ∞.
3) f'(x) = 2xe-x - x2e-x = x(2-x)e-x. Roots at x=0 (min), x=2 (max).
4) f''(x) = (x2 - 4x + 2)e-x. Roots at x = 2 ± √2 (Inflection points).
الرسم البياني للدالة f(x) = x² e^(-x) يوضح القيمة العظمى والمقارب الأفقي
تمرين 32: معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الأولى.
Solution: Integrating factor μ(x) = e∫2 dx = e2x.
Multiply DE by e2x: d/dx[y · e2x] = e-x · e2x = ex.
Integrate: y · e2x = ex + C ⇒ y(x) = e-x + Ce-2x.
تمرين 33: التكامل بالتجزئة مرتين متتاليتين للدوال الدورية والأسية.
Solution:
Use integration by parts twice. Let u = e2x, dv = cos(3x)dx.
Resulting formula: I = [e2x / (22 + 32)] · [2cos(3x) + 3sin(3x)] + C
I = (e2x / 13) [2cos(3x) + 3sin(3x)] + C.
تمرين 34: متسلسلة تايلور للتابع الأسي.
Solution:
eu = ∑ (un / n!) for n=0 to ∞.
Substitute u = -x2: e-x2 = ∑ (-1)nx2n / n!.
Integral = ∑ [(-1)n / (n! · (2n+1))] evaluated from 0 to 1.
Result = ∑ (-1)n / [n! · (2n+1)] for n=0 to ∞.
تمرين 35: مسألة نمو أسّي في الأحياء المعقدة.
Solution:
Separate variables: ∫ dP / (P(1 - P/M)) = ∫ k dt.
Partial fractions: ∫ (1/P + (1/M)/(1 - P/M)) dP = kt + C.
ln|P| - ln|1 - P/M| = kt + C ⇒ P / (1 - P/M) = A · ekt.
Solve for P(t) = M / (1 + B · e-kt) where B = (M - P0)/P0.
تمرين 36: حل المعادلة الأسية التي لا تحل جبرياً بالاعتياد (استخدام دالة لامبرت W).
Solution: By definition of the Lambert W function, x = W(2).
تمرين 37: التكامل المعتل (Gaussian Integral).
Solution:
Let I be the integral. I2 = ∫e-x2dx ∫e-y2dy = ∫∫ e-(x2+y2) dx dy.
Convert to polar coordinates: I2 = ∫[0 to 2π] ∫[0 to ∞] e-r2 · r dr dθ.
I2 = 2π · (1/2) = π ⇒ I = √π.
تمرين 38: معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية ذات معاملات ثابتة.
Solution:
Characteristic eq: r2 - 3r + 2 = 0 ⇒ r=1, r=2. yh = C1ex + C2e2x.
Particular solution: Let yp = A · e3x. yp' = 3Ae3x, yp'' = 9Ae3x.
9A - 9A + 2A = 4 ⇒ 2A = 4 ⇒ A = 2.
General solution: y = C1ex + C2e2x + 2e3x.
تمرين 39: إثبات رياضي باستخدام نظرية القيمة الوسطى.
Solution:
Let f(x) = ex - x - 1. f'(x) = ex - 1.
For x > 0, f'(x) > 0 (strictly increasing). For x < 0, f'(x) < 0 (strictly decreasing).
Minimum is at x = 0, f(0) = 1 - 0 - 1 = 0. Therefore, f(x) ≥ 0 for all x, which implies ex ≥ 1 + x.
تمرين 40: حساب مساحة سطح دوراني.
Solution:
S = 2π ∫ y √(1 + (y')2) dx = 2π ∫[0,1] ex √(1 + e2x) dx.
Let u = ex, du = exdx. Integration limits: 1 to e.
S = 2π ∫[1,e] √(1 + u2) du.
Use trig substitution u = tan(θ). Result = π [ u√(1+u2) + ln|u + √(1+u2)| ] evaluated from 1 to e.
المجموعة الثانية (41-50): تطبيقات فيزيائية، أعداد عقدية وتحويلات
تمرين 41: صيغة أويلر للأعداد العقدية.
Solution:
(cos θ + i·sin θ)3 = ei3θ = cos(3θ) + i·sin(3θ).
Expand LHS using binomial theorem: cos3θ + 3i·cos2θ·sinθ - 3cosθ·sin2θ - i·sin3θ.
Equating real parts: cos(3θ) = cos3θ - 3cosθ·sin2θ.
تمرين 42: تحويل لابلاس للتابع الأسي.
Solution:
L{t · eat} = ∫[0,∞] t · eat · e-st dt = ∫[0,∞] t · e-(s-a)t dt.
Integration by parts yields: 1 / (s - a)2 for s > a.
تمرين 43: دارة كهربائية RC (تفريغ المكثف).
Solution:
dV/V = - (1/RC) dt. Integrating both sides: ln|V| = -t/(RC) + K.
V(t) = A · e-t/(RC). At t=0, V(0) = V0, so A = V0.
V(t) = V0 · e-t/(RC).
منحني تفريغ المكثف أسيّاً مع الزمن (V(t) = V0 e^(-t/RC))
تمرين 44: حساب الطول القوسي لمنحني.
Solution:
y' = (ex - e-x)/2.
1 + (y')2 = 1 + (e2x - 2 + e-2x)/4 = (e2x + 2 + e-2x)/4 = [ (ex + e-x)/2 ]2.
L = ∫[0,1] (ex + e-x)/2 dx = [(ex - e-x)/2] from 0 to 1 = (e - e-1)/2.
تمرين 45: نهاية مركبة باستخدام سلسلة تايلور.
Solution:
ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + O(x4).
Numerator = (1 + x + x2/2 + x3/6) - 1 - x - x2/2 = x3/6 + O(x4).
Limit = (x3/6) / x3 = 1/6.
تمرين 46: حل نظام معادلات تفاضلية خطية.
Solution:
Matrix A = [[3, -1], [1, 1]]. Characteristic eq: det(A - λI) = (3-λ)(1-λ) + 1 = λ2 - 4λ + 4 = 0.
Eigenvalue λ = 2 (repeated).
Eigenvector for λ=2: v = [1, 1]T. Generalized eigenvector w: (A-2I)w = v ⇒ [[1, -1], [1, -1]]w = [1, 1]T ⇒ w = [1, 0]T.
Solution vector: X(t) = C1 e2t [1, 1]T + C2 e2t ( t[1, 1]T + [1, 0]T ).
تمرين 47: مسألة تبريد نيوتن.
Solution:
T(t) = Tenv + (T(0) - Tenv)e-kt.
60 = 20 + 80e-10k ⇒ 40 = 80e-10k ⇒ 0.5 = e-10k.
ln(0.5) = -10k ⇒ k = -ln(0.5)/10 = ln(2)/10 ≈ 0.0693 min-1.
تمرين 48: التابع الأسي في مصفوفة (Matrix Exponential).
Solution:
A2 = [[-1, 0], [0, -1]] = -I. A3 = -A, A4 = I.
eAt = ∑ (At)n/n! = I(1 - t2/2! + t4/4! - ...) + A(t - t3/3! + t5/5! - ...).
eAt = I·cos(t) + A·sin(t) = [[cos(t), sin(t)], [-sin(t), cos(t)]].
تمرين 49: معادلة الحرارة الأحادية البعد (انتشار أسّي).
Solution:
X(x)T'(t) = αX''(x)T(t) ⇒ T'(t) / (αT(t)) = X''(x) / X(x) = -λ2.
T'(t) + αλ2T(t) = 0 ⇒ T(t) = C·e-αλ2t.
X''(x) + λ2X(x) = 0 ⇒ X(x) = A·cos(λx) + B·sin(λx).
u(x,t) = e-αλ2t [A·cos(λx) + B·sin(λx)].
تمرين 50: متطابقة صعبة في التفاضل الجزئي للتابع الأسي المعتمد على عدة متغيرات.
Solution:
Notice that f(x, y) is the imaginary part of the complex function g(z) = ez2.
z2 = (x + iy)2 = (x2 - y2) + i(2xy).
ez2 = ex2 - y2 · (cos(2xy) + i·sin(2xy)).
Since g(z) is analytic (differentiable in the complex plane), both its real and imaginary parts satisfy Laplace's equation (Cauchy-Riemann equations consequence).
Therefore, Δf = 0.
