تمارين ومسائل محلولة عن الدائرة ومحيطها
في هذا المقال، سنستعرض 30 تمريناً ومسألة تغطي قوانين محيط الدائرة. سنستخدم الرموز التالية:
- C = محيط الدائرة (Circumference)
- r = نصف القطر (Radius)
- d = القطر (Diameter)
- π = ثابت باي (Pi)، وقيمته التقريبية 3.14 أو 22/7
القوانين الأساسية المستخدمة هي: C = 2 · π · r أو C = π · d
المستوى الأول: تطبيقات مباشرة (للمبتدئين)
تمرين 1
دائرة نصف قطرها r = 7 cm. احسب محيطها C. (استخدم π ≈ 22/7)
C = 2 · (22/7) · 7
C = 44 cm
تمرين 2
دائرة قطرها d = 10 m. احسب محيطها. (استخدم π ≈ 3.14)
C = 3.14 · 10
C = 31.4 m
تمرين 3
دائرة محيطها C = 31.4 cm. أوجد طول قطرها d. (استخدم π ≈ 3.14)
31.4 = 3.14 · d
d = 31.4 / 3.14 = 10 cm
تمرين 4
دائرة محيطها C = 88 m. أوجد نصف قطرها r. (استخدم π ≈ 22/7)
88 = 2 · (22/7) · r
88 = (44/7) · r
r = (88 · 7) / 44 = 14 m
تمرين 5
دائرة نصف قطرها r = 5 mm. احسب محيطها بدلالة π.
C = 2 · π · 5
C = 10π mm
تمرين 6
عجلة دائرية قطرها d = 14 cm. ما هو محيطها؟ (استخدم π ≈ 22/7)
C = (22/7) · 14
C = 44 cm
تمرين 7
أوجد محيط دائرة إذا علمت أن r = 2.5 km. (استخدم π ≈ 3.14)
C = 2 · 3.14 · 2.5
C = 5 · 3.14 = 15.7 km
تمرين 8
إذا كان محيط دائرة هو C = 100π cm، فكم يبلغ طول نصف قطرها r؟
100π = 2 · π · r
r = 100π / 2π = 50 cm
تمرين 9
طاولة دائرية الشكل قطرها d = 1.2 m. احسب محيطها لأقرب رقمين عشريين.
C = 3.14 · 1.2
C = 3.768 ≈ 3.77 m
تمرين 10
خاتم دائري نصف قطره r = 10 mm. ما طول السلك المعدني اللازم لصنعه؟
طول السلك يمثل المحيط.
C = 2 · 3.14 · 10
C = 62.8 mm
المستوى الثاني: مسائل وتطبيقات حياتية (متوسط)
تمرين 11
عجلة دراجة نصف قطرها r = 35 cm. ما المسافة التي تقطعها الدراجة عندما تدور العجلة دورة واحدة كاملة؟ (استخدم π = 22/7)
المسافة المقطوعة في دورة واحدة تساوي المحيط.
C = 2 · (22/7) · 35 = 220 cm
تمرين 12
بناءً على التمرين السابق، ما المسافة التي تقطعها الدراجة بوحدة المتر (m) إذا دارت العجلة 10 دورات؟
Distance = 220 cm · 10 = 2200 cm
Distance in meters = 2200 / 100 = 22 m
تمرين 13
حديقة نصف دائرية، قطرها المستقيم يبلغ d = 20 m. احسب المحيط الكلي للحديقة (يشمل القوس والخط المستقيم).
Total Perimeter = Arc length + d
Total Perimeter = 31.4 + 20 = 51.4 m
تمرين 14
بركة دائرية نصف قطرها r = 15 m. أراد مالكها إحاطتها بسياج معدني يتكون من 3 طبقات من الأسلاك. كم متراً من الأسلاك يحتاج؟
Total Wire = C · 3
Total Wire = 94.2 · 3 = 282.6 m
تمرين 15
إذا تمت مضاعفة نصف قطر دائرة، فماذا يحدث لمحيطها؟ أثبت ذلك رياضياً.
يتضاعف المحيط أيضاً.
Let new radius = 2r, then C2 = 2 · π · (2r)
C2 = 2 · (2 · π · r) = 2 · C1
تمرين 16
دائرتان، نصف قطر الأولى r_1 = 4 cm ونصف قطر الثانية r_2 = 12 cm. أوجد نسبة محيط الدائرة الأولى إلى محيط الدائرة الثانية.
C1 / C2 = r1 / r2
Ratio = 4 / 12 = 1 / 3
تمرين 17
مضمار جري دائري طوله (محيطه) C = 400 m. ما هو القطر d لهذا المضمار؟ (استخدم π = 3.14)
400 = 3.14 · d
d = 400 / 3.14 ≈ 127.39 m
تمرين 18
سلك معدني طوله 88 cm. تم ثنيه ليصنع دائرة كاملة. ما هو نصف قطر هذه الدائرة؟ (π = 22/7)
طول السلك يمثل المحيط C.
88 = 2 · (22/7) · r
r = (88 · 7) / 44 = 14 cm
تمرين 19
سلك تم تشكيله على هيئة دائرة نصف قطرها r = 21 cm. إذا قمنا بفرد السلك وأعدنا تشكيله على هيئة مربع، فما هو طول ضلع المربع؟
Perimeter (Square) = 4 · side = 132 cm
side = 132 / 4 = 33 cm
تمرين 20
عقرب الدقائق في ساعة حائط طوله r = 15 cm. ما المسافة التي يقطعها رأس العقرب خلال ساعة كاملة (60 دقيقة)؟
خلال ساعة كاملة، يصنع عقرب الدقائق دورة كاملة (دائرة).
Distance = 2 · 3.14 · 15 = 94.2 cm
المستوى الثالث: مسائل مركبة وهندسية (متقدم)
تمرين 21
دائرتان متحدتا المركز (Concentric circles). نصف قطر الصغرى r_1 = 6 m والكبرى r_2 = 10 m. أوجد الفرق بين محيطيهما.
ΔC = (2 · π · r_2) – (2 · π · r_1)
ΔC = 2 · π · (10 – 6) = 2 · 3.14 · 4 = 25.12 m
تمرين 22
مربع طول ضلعه 14 cm. رُسمت بداخله أكبر دائرة ممكنة (تمس أضلاعه الأربعة). احسب محيط الدائرة.
قطر الدائرة يساوي طول ضلع المربع.
C = π · d
C = (22/7) · 14 = 44 cm
تمرين 23
إذا كانت تكلفة وضع سياج حول حديقة دائرية هي 15 $ لكل متر، والقطر d = 30 m. فما التكلفة الإجمالية للسياج؟
Total Cost = 94.2 · 15
Total Cost = 1413 $
تمرين 24
ترس ميكانيكي A نصف قطره r_A = 5 cm متصل بترس B نصف قطره r_B = 15 cm. إذا دار الترس A ثلاث دورات كاملة، فكم دورة يدورها الترس B؟
المسافة المقطوعة متساوية للترسين.
C_B = 2 · π · 15 = 30π cm
Revolutions of B = Distance_A / C_B = 30π / 30π = 1 revolution
تمرين 25
شكل هندسي يتكون من مستطيل أبعاده 20 m و 14 m، وتم إضافة نصف دائرة على كل من الضلعين القصيرين (الذين طولهما 14m). احسب المحيط الخارجي الكلي للشكل.
المحيط الخارجي يتكون من الضلعين الطويلين للمستطيل + محيط الدائرة الكاملة (نصفين).
d of circle = 14 m ⇒ C = (22/7) · 14 = 44 m
Total Perimeter = 40 + 44 = 84 m
تمرين 26
شكل ربع دائرة، نصف قطره r = 10 cm. احسب المحيط الكلي لهذا الشكل (القوس + أنصاف الأقطار).
Straight edges = r + r = 10 + 10 = 20 cm
Total Perimeter = 15.7 + 20 = 35.7 cm
تمرين 27
خيط لُف حول خط الاستواء للأرض الذي يبلغ نصف قطره تقريباً r = 6371 km. إذا أضفنا للطول الكلي للخيط 10 m فقط ورفعناه بالتساوي حول الأرض، فكم سيرتفع الخيط عن سطح الأرض؟ (Δr)
C_new = 2 · π · r_new = C_old + 10
2 · π · r_new – 2 · π · r_old = 10
2 · π · Δr = 10
Δr = 10 / (2 · π) = 5 / 3.14 ≈ 1.59 m
تمرين 28
دائرة محيطها C = x. أوجد مساحتها A بدلالة x و π. (ملاحظة: قانون المساحة A = π · r²)
A = π · r²
A = π · (x / 2π)² = π · (x² / 4π²)
A = x² / (4π)
تمرين 29
تم رسم دائرة تمر برؤوس مربع طول ضلعه 10 cm (دائرة محيطة بالمربع). احسب محيط الدائرة.
قطر الدائرة يساوي قطر المربع (Diagonal).
C = π · d
C = 10π√2 cm ≈ 44.4 cm
تمرين 30
عقرب الساعات في ساعة حائط طوله r = 7 cm. ما المسافة التي يقطعها رأس العقرب في 12 ساعة كاملة؟
في 12 ساعة، يكمل عقرب الساعات دورة واحدة كاملة حول المينا.
C = 2 · (22/7) · 7
C = 44 cm
