تمارين ومسائل محلولة عن المثلث قائم الزاوية

التمرين الأول: إيجاد طول الوتر (باستخدام نظرية فيثاغورس)

المسألة:
مثلث (ABC) قائم الزاوية في (B). إذا كان طول الضلع (AB) = 8 سم، وطول الضلع (BC) = 6 سم، فما هو طول الوتر (AC)؟

المعطيات:

• الضلع الأول (AB) = 8 سم.
• الضلع الثاني (BC) = 6 سم.
• الزاوية القائمة عند (B).

المطلوب:

• إيجاد طول الوتر (AC).

الحل:
نستخدم نظرية فيثاغورس التي تنص على أن: مربع الوتر = مجموع مربعي الضلعين الآخرين.
(AC)² = (AB)² + (BC)²

1. نعوض بالقيم المعطاة:
   (AC)² = (8)² + (6)²
2. نحسب المربعات:
   (AC)² = 64 + 36
3. نجمع القيم:
   (AC)² = 100
4. نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لإيجاد طول (AC):
   AC = √100
   AC = 10 سم

إذًا، طول الوتر هو 10 سم.

---

التمرين الثاني: إيجاد طول ضلع قائم (باستخدام نظرية فيثاغورس)

المسألة:
مثلث (XYZ) قائم الزاوية في (Y). إذا كان طول الوتر (XZ) = 13 مترًا، وطول الضلع (YZ) = 5 أمتار، فما هو طول الضلع (XY)؟

المعطيات:

• الوتر (XZ) = 13 م.
• الضلع القائم (YZ) = 5 م.

المطلوب:

• إيجاد طول الضلع القائم (XY).

الحل:
من نظرية فيثاغورس: (الوتر)² = (الضلع الأول)² + (الضلع الثاني)²
(XZ)² = (XY)² + (YZ)²

1. نعيد ترتيب المعادلة لإيجاد الضلع المجهول:
   (XY)² = (XZ)² – (YZ)²
2. نعوض بالقيم المعطاة:
   (XY)² = (13)² – (5)²
3. نحسب المربعات:
   (XY)² = 169 – 25
4. نطرح القيم:
   (XY)² = 144
5. نأخذ الجذر التربيعي لإيجاد طول (XY):
   XY = √144
   XY = 12 مترًا

إذًا، طول الضلع (XY) هو 12 مترًا.

---

التمرين الثالث: إيجاد قياس زاوية (باستخدام النسب المثلثية)

المسألة:
مثلث (DEF) قائم الزاوية في (E). إذا كان طول الضلع المقابل للزاوية (F) وهو (DE) = 9 سم، وطول الضلع المجاور للزاوية (F) وهو (EF) = 12 سم. أوجد قياس الزاوية (F).

المعطيات:

• الضلع المقابل للزاوية (F) = 9 سم.
• الضلع المجاور للزاوية (F) = 12 سم.

المطلوب:

• قياس الزاوية (F).

الحل:
نستخدم نسبة الظل (tan) لأننا نملك طولي الضلع المقابل والمجاور.
tan (الزاوية) = الضلع المقابل / الضلع المجاور
tan (F) = (DE) / (EF)

1. نعوض بالقيم:
   tan (F) = 9 / 12
2. نبسط الكسر:
   tan (F) = 0.75
3. لإيجاد قياس الزاوية (F)، نستخدم الدالة العكسية للظل (tan⁻¹ أو arctan) في الآلة الحاسبة:
   F = tan⁻¹ (0.75)
   F ≈ 36.87 درجة

إذًا، قياس الزاوية (F) هو 36.87 درجة تقريبًا.

---

التمرين الرابع: إيجاد طول ضلع (باستخدام النسب المثلثية)

المسألة:
مثلث قائم الزاوية، قياس إحدى زواياه الحادة 30 درجة، وطول الوتر فيه 20 سم. أوجد طول الضلع المقابل لهذه الزاوية.

المعطيات:

• قياس الزاوية (θ) = 30 درجة.
• طول الوتر = 20 سم.

المطلوب:

• إيجاد طول الضلع المقابل للزاوية 30.

الحل:
نستخدم نسبة الجيب (sin) لأننا نملك قياس الزاوية وطول الوتر ونريد إيجاد الضلع المقابل.
sin (الزاوية) = الضلع المقابل / الوتر

1. نعوض بالقيم المعلومة:
   sin (30°) = الضلع المقابل / 20
2. نعيد ترتيب المعادلة:
   الضلع المقابل = 20 × sin (30°)
3. نحن نعلم أن sin (30°) = 0.5 (أو 1/2):
   الضلع المقابل = 20 × 0.5
   الضلع المقابل = 10 سم

إذًا، طول الضلع المقابل للزاوية 30 درجة هو 10 سم.

---

التمرين الخامس: حساب المساحة والمحيط

المسألة:
مثلث قائم الزاوية، طول أحد ضلعيه القائمين 7 سم وطول وتره 25 سم. احسب مساحته ومحيطه.

المعطيات:

• أحد الضلعين القائمين (لنسمه a) = 7 سم.
• الوتر (لنسمه c) = 25 سم.

المطلوب:

1. حساب مساحة المثلث.
2. حساب محيط المثلث.

الحل:
الخطوة الأولى: إيجاد طول الضلع القائم المجهول (b).
نستخدم نظرية فيثاغورس: a² + b² = c²
(7)² + b² = (25)²
49 + b² = 625
b² = 625 – 49
b² = 576
b = √576
b = 24 سم

الآن لدينا أطوال جميع الأضلاع: 7 سم، 24 سم، 25 سم.

الخطوة الثانية: حساب المساحة.
مساحة المثلث القائم = (1/2) × القاعدة × الارتفاع
(القاعدة والارتفاع هما الضلعان القائمان a و b)
المساحة = (1/2) × 7 × 24
المساحة = (1/2) × 168
المساحة = 84 سم²

الخطوة الثالثة: حساب المحيط.
المحيط = مجموع أطوال الأضلاع
المحيط = a + b + c
المحيط = 7 + 24 + 25
المحيط = 56 سم

إذًا، مساحة المثلث هي 84 سم² ومحيطه هو 56 سم.

تمارين للمرحلة الثانوية

التمرين الأول: المثلث القائم في الهندسة الفراغية (ثلاثية الأبعاد)

المسألة:
صندوق على شكل متوازي مستطيلات أبعاده هي: الطول (AB) = 12 سم، العرض (BC) = 9 سم، والارتفاع (CG) = 8 سم. أوجد قياس الزاوية (θ) التي يصنعها القطر الرئيسي للصندوق (AG) مع قاعدته (ABCD).

المعطيات:

• متوازي مستطيلات بأبعاد 12 سم، 9 سم، 8 سم.
• القاعدة هي المستطيل ABCD والارتفاع هو CG.

المطلوب:

• قياس الزاوية θ (الزاوية GAC).

الحل:
لإيجاد الزاوية θ، سنقوم بتكوين مثلث قائم الزاوية هو (ACG) القائم في C.

• الضلع المقابل للزاوية θ هو الارتفاع (CG) = 8 سم.
• الضلع المجاور للزاوية θ هو قطر القاعدة (AC).

الخطوة 1: إيجاد طول قطر القاعدة (AC).
القاعدة (ABCD) هي مستطيل، والمثلث (ABC) هو مثلث قائم الزاوية في B. نستخدم نظرية فيثاغورس:
(AC)² = (AB)² + (BC)²
(AC)² = (12)² + (9)²
(AC)² = 144 + 81
(AC)² = 225
AC = √225 = 15 سم.

الخطوة 2: استخدام النسب المثلثية في المثلث (ACG).
لدينا الآن المثلث (ACG) القائم في C:

• الضلع المجاور للزاوية θ هو (AC) = 15 سم.
• الضلع المقابل للزاوية θ هو (CG) = 8 سم.

نستخدم نسبة الظل (tan) لإيجاد الزاوية θ:
tan(θ) = المقابل / المجاور
tan(θ) = CG / AC
tan(θ) = 8 / 15

الخطوة 3: إيجاد قياس الزاوية θ.
نستخدم الدالة العكسية للظل (arctan أو tan⁻¹):
θ = tan⁻¹(8 / 15)
θ ≈ tan⁻¹(0.5333)
θ ≈ 28.07 درجة.

إذًا، قياس الزاوية التي يصنعها القطر الرئيسي مع القاعدة هو 28.07 درجة تقريبًا.

---

التمرين الثاني: المثلث القائم في الهندسة التحليلية (الإحداثية)

المسألة:
لتكن النقاط A(1, 5)، B(7, -1)، و C(-2, -4) في المستوى الإحداثي.

1. أثبت أن المثلث ABC قائم الزاوية.
2. احسب مساحته.

المطلوب:

1. إثبات أن المثلث ABC قائم.
2. حساب مساحة المثلث ABC.

الحل:
الجزء الأول: إثبات أن المثلث قائم.
يمكننا استخدام طريقتين: الميل أو المسافات (نظرية فيثاغورس العكسية). سنستخدم الميل لأنه أسرع.
ميل المستقيم = (فرق الصادات) / (فرق السينات) = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

1. ميل الضلع AB:
   m_AB = (-1 – 5) / (7 – 1) = -6 / 6 = -1
2. ميل الضلع BC:
   m_BC = (-4 – (-1)) / (-2 – 7) = (-3) / (-9) = 1/3
3. ميل الضلع AC:
   m_AC = (-4 – 5) / (-2 – 1) = -9 / -3 = 3

نلاحظ أن حاصل ضرب ميلي الضلعين AB و BC ليس -1. كذلك BC و AC. لنعد النظر في الحسابات.
تصحيح: ميل الضلع AC تم حسابه بشكل صحيح. لنقارنه بميل BC.
m_BC * m_AC = (1/3) * 3 = 1. ليس متعامدين.
لنقارن AB بضلع آخر، ربما أخطأت في حساب ميل أحد الأضلاع.
دعنا نستخدم طريقة المسافات للتأكد.
d = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²](AB)² = (7-1)² + (-1-5)² = 6² + (-6)² = 36 + 36 = 72
(BC)² = (-2-7)² + (-4-(-1))² = (-9)² + (-3)² = 81 + 9 = 90
(AC)² = (-2-1)² + (-4-5)² = (-3)² + (-9)² = 9 + 81 = 90

يبدو أن المثلث متساوي الساقين (BC = AC) ولكنه ليس قائمًا. دعنا نغير النقطة C لتكوين مثلث قائم.
تعديل المسألة: لتكن النقطة C(4, -4).
لنحل المسألة المعدلة: A(1, 5)، B(7, -1)، C(4, -4).

الحل (بعد التعديل):
1. إثبات أن المثلث قائم باستخدام الميل:

• ميل AB: m_AB = (-1 – 5) / (7 – 1) = -6 / 6 = -1
• ميل BC: m_BC = (-4 – (-1)) / (4 – 7) = -3 / -3 = 1
• ميل AC: m_AC = (-4 – 5) / (4 – 1) = -9 / 3 = -3

بما أن حاصل ضرب ميل AB وميل BC هو:
m_AB × m_BC = -1 × 1 = -1
إذًا، الضلعان AB و BC متعامدان، وبالتالي المثلث ABC قائم الزاوية في B.

2. حساب المساحة:
بما أن المثلث قائم في B، فإن الضلعين AB و BC هما القاعدة والارتفاع.
نحسب طولي الضلعين باستخدام قانون المسافة:

• طول AB = √[(7-1)² + (-1-5)²] = √[6² + (-6)²] = √[36 + 36] = √72 = 6√2
• طول BC = √[(4-7)² + (-4-(-1))²] = √[(-3)² + (-3)²] = √[9 + 9] = √18 = 3√2

مساحة المثلث = (1/2) × القاعدة × الارتفاع
المساحة = (1/2) × (AB) × (BC)
المساحة = (1/2) × (6√2) × (3√2)
المساحة = (1/2) × 18 × (√2 × √2)
المساحة = (1/2) × 18 × 2 = 18 وحدة مربعة.

---

التمرين الثالث: المثلث القائم والمتجهات

المسألة:
إذا كان المتجه A = 2i + 3j والمتجه B = 4i – j يمثلان نقطتين انطلاقًا من نقطة الأصل O. والمتجه C = 6i + 2j. هل المثلث ABC الذي رؤوسه هي نهايات هذه المتجهات قائم الزاوية؟

المعطيات:

• رؤوس المثلث هي النقاط A(2, 3)، B(4, -1)، C(6, 2).

المطلوب:

• تحديد ما إذا كان المثلث ABC قائم الزاوية.

الحل:
سنوجد المتجهات التي تمثل أضلاع المثلث، ثم نستخدم الضرب القياسي (Dot Product) للتحقق من التعامد.
(إذا كان المتجه u · المتجه v = 0، فإن المتجهين متعامدان).

1. إيجاد متجهات الأضلاع:
   • AB = B – A = (4-2)i + (-1-3)j = 2i – 4j
   • BC = C – B = (6-4)i + (2-(-1))j = 2i + 3j
   • AC = C – A = (6-2)i + (2-3)j = 4i – j
2. التحقق من التعامد باستخدام الضرب القياسي:
   • AB · BC = (2)(2) + (-4)(3) = 4 – 12 = -8 ≠ 0
   • BC · AC = (2)(4) + (3)(-1) = 8 – 3 = 5 ≠ 0
   • AB · AC = (2)(4) + (-4)(-1) = 8 + 4 = 12 ≠ 0

النتيجة: بما أن الضرب القياسي لأي متجهين من متجهات الأضلاع لا يساوي صفرًا، فإن المثلث ليس قائم الزاوية.

لجعل المسألة صحيحة: لنفترض أن C هي (8, -5).
BC = (8-4)i + (-5-(-1))j = 4i – 4j
AC = (8-2)i + (-5-3)j = 6i – 8j
AB · BC = (2)(4) + (-4)(-4) = 8 + 16 = 24 ≠ 0

لنعد إلى المتجهات الأصلية ونفترض أن السؤال هو: هل المتجهان AB و AC متعامدان؟
AB = 2i – 4j
AC = 4i – j
AB · AC = (2)(4) + (-4)(-1) = 8 + 4 = 12 ≠ 0
إذًا، ليسا متعامدين. هذا التمرين بصيغته الأصلية يوضح كيفية استخدام المتجهات لإثبات عدم وجود زاوية قائمة.

---

التمرين الرابع: تطبيقات حساب المثلثات (زوايا الارتفاع)

المسألة:
من نقطة على سطح الأرض، تم رصد قمة برج فكانت زاوية ارتفاعها 30 درجة. سار الراصد مسافة 100 متر مقتربًا من قاعدة البرج في خط مستقيم، ثم رصد القمة مرة أخرى فوجد أن زاوية الارتفاع أصبحت 60 درجة. أوجد ارتفاع البرج.

المعطيات:

• زاوية الارتفاع الأولى (من النقطة A) = 30 درجة.
• زاوية الارتفاع الثانية (من النقطة B) = 60 درجة.
• المسافة بين A و B هي 100 متر.

المطلوب:

• ارتفاع البرج (h).

الحل:
ليكن ارتفاع البرج (h)، وقاعدة البرج هي النقطة C.
لتكن النقطة الأولى للرصد هي A، والنقطة الثانية هي B.
المسافة BC = x، والمسافة AC = x + 100.

لدينا مثلثان قائمان:

1. المثلث القائم الكبير:
   tan(30°) = المقابل / المجاور = h / (x + 100)
   نعلم أن tan(30°) = 1/√3.
   1/√3 = h / (x + 100) => x + 100 = h√3 (المعادلة 1)
2. المثلث القائم الصغير:
   tan(60°) = المقابل / المجاور = h / x
   نعلم أن tan(60°) = √3.
   √3 = h / x => h = x√3 => x = h/√3 (المعادلة 2)

الآن نقوم بحل المعادلتين:
نعوض بقيمة x من المعادلة (2) في المعادلة (1):
(h/√3) + 100 = h√3

للتخلص من المقام، نضرب المعادلة كلها في √3:
h + 100√3 = h(√3)(√3)
h + 100√3 = 3h

ننقل h إلى الطرف الآخر:
100√3 = 3h – h
100√3 = 2h

نقسم على 2 لإيجاد h:
h = (100√3) / 2
h = 50√3 متر.

إذًا، ارتفاع البرج هو 50√3 متر (حوالي 86.6 متر).

---

التمرين الخامس: المثلث القائم والدائرة

المسألة:
مثلث ABC قائم الزاوية في B، أضلاعه هي أعداد صحيحة متتالية. أوجد نصف قطر الدائرة المارة برؤوسه (الدائرة المحيطة به).

المعطيات:

• مثلث قائم الزاوية.
• أطوال أضلاعه هي ثلاثة أعداد صحيحة متتالية.

المطلوب:

• نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث (R).

الحل:
الخطوة 1: إيجاد أطوال الأضلاع.
لتكن الأعداد الصحيحة المتتالية هي: n، n+1، n+2.
في المثلث القائم، الوتر هو أطول ضلع، لذا سيكون طوله n+2.
الضلعان القائمان هما n و n+1.

بتطبيق نظرية فيثاغورس:
(الضلع الأول)² + (الضلع الثاني)² = (الوتر)²
n² + (n+1)² = (n+2)²

نفك الأقواس:
n² + (n² + 2n + 1) = (n² + 4n + 4)
2n² + 2n + 1 = n² + 4n + 4

ننقل كل الحدود إلى طرف واحد لجعلها معادلة صفرية:
2n² – n² + 2n – 4n + 1 – 4 = 0
n² – 2n – 3 = 0

نحلل المعادلة التربيعية:
(n – 3)(n + 1) = 0
الحلول الممكنة هي n = 3 أو n = -1.
بما أن الطول لا يمكن أن يكون سالبًا، فإن n = 3.

إذًا، أطوال الأضلاع هي:

• n = 3
• n+1 = 4
• n+2 = 5
  الأضلاع هي 3، 4، 5. (وهو مثلث فيثاغورس الشهير).

الخطوة 2: إيجاد نصف قطر الدائرة المحيطة.
هناك خاصية هامة جدًا تربط الدائرة بالمثلث القائم:
“مركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم الزاوية هو منتصف وتره، وطول نصف قطرها يساوي نصف طول الوتر”.

الوتر في مثلثنا هو الضلع الأطول، وطوله 5.
نصف قطر الدائرة المحيطة (R) = (طول الوتر) / 2
R = 5 / 2
R = 2.5

إذًا، نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث هو 2.5 وحدة طول.