أرجاند: العبقري الهاوي الذي رسم الأعداد التخيلية على خريطة الواقع

في سجلات تاريخ الرياضيات، تبرز أسماء لامعة لعمالقة غيروا مسار الفكر البشري، مثل نيوتن وأويلر وجاوس. لكن بين هؤلاء، توجد شخصيات أقل شهرة، لكنها لا تقل أهمية، قدمت إسهامات محورية فتحت آفاقًا جديدة. من بين هؤلاء يأتي جان روبير أرجاند (1768-1822)، المحاسب السويسري الذي لم يكن عالم رياضيات بالمهنة، ولكنه قدم للعالم أداة بصرية عبقرية حولت مفهوم “الأعداد التخيلية” من مجرد غموض جبري إلى حقيقة هندسية واضحة. إن مخطط أرجاند، الذي يُنسب إليه الفضل في تطويره، لم يكن مجرد رسم بياني، بل كان جسرًا مفاهيميًا ربط بين الجبر والهندسة، وأرسى الأساس لتطبيقات لا حصر لها في الفيزياء والهندسة والرياضيات الحديثة. تستكشف هذه المقالة حياة وإرث أرجاند، وتتعمق في الأهمية التاريخية والرياضية لمخططه، وتوضح كيف أن هذا الإسهام من شخصية “هاوية” أضاء أحد أكثر جوانب الرياضيات غموضًا.

السياق التاريخي: معضلة الأعداد التخيلية قبل أرجاند

لفهم حجم الإنجاز الذي حققه أرجاند، لا بد من استيعاب المشهد الرياضي الذي سبقه. لقرون، كانت الأعداد التخيلية، وعلى رأسها وحدة التخيل i (الجذر التربيعي للعدد -1)، تمثل لغزًا محيرًا وأزمة فلسفية لعلماء الرياضيات. منذ ظهورها في القرن السادس عشر على يد علماء مثل جيرولامو كاردانو ورافائيل بومبيلي كحلول للمعادلات التكعيبية، كان يُنظر إليها على أنها مجرد أدوات حسابية “مستحيلة” أو “وهمية”. لقد كانت مفيدة في الوصول إلى حلول حقيقية، لكن وجودها المستقل كان موضع شك عميق. حتى العظيم ليونهارت أويلر، الذي قدم الصيغة الشهيرة e^(iπ) + 1 = 0 التي تربط بين أهم الثوابت الرياضية، وصفها بأنها أعداد “لا يمكن تصورها”. كانت المشكلة الأساسية تكمن في غياب أي تفسير مادي أو هندسي لها. فالأعداد الحقيقية يمكن تمثيلها بسهولة على خط الأعداد، ولكن أين يقع الجذر التربيعي لسالب واحد على هذا الخط؟ لم يكن له مكان. هذا الفراغ المفاهيمي هو ما سعى أرجاند وبعض معاصريه إلى سده. سبقت محاولة أرجاند بعض الجهود المهمة، أبرزها محاولة جون واليس في القرن السابع عشر، الذي حاول تقديم تفسير هندسي لكنه لم يكتمل. كان العالم الرياضي ينتظر بصبر حدسًا جديدًا، وهذا الحدس جاء من مصادر غير متوقعة، كان أبرزها جان روبير أرجاند.

حياة جان روبير أرجاند: من المحاسبة إلى الخلود الرياضي

ولد جان روبير أرجاند في جنيف بسويسرا عام 1768. على عكس معظم الشخصيات التي تملأ كتب تاريخ الرياضيات، لم يتلق أرجاند تعليمًا رياضيًا رسميًا متقدمًا ولم يشغل أي منصب أكاديمي. كانت مهنته هي إدارة متجر لبيع الكتب والمحاسبة في باريس. كانت الرياضيات بالنسبة له شغفًا وهواية يمارسها في أوقات فراغه. هذا البعد الشخصي يجعل إنجازه أكثر إثارة للإعجاب، فهو يمثل انتصار الفضول الفكري والموهبة الفطرية على قيود المهنة والتعليم الرسمي. في عام 1806، وبينما كان يدير أعماله اليومية، قام أرجاند بنشر كتيب صغير على نفقته الخاصة وبشكل مجهول، تحت عنوان “مقالة حول طريقة لتمثيل الكميات التخيلية عبر الإنشاءات الهندسية” (Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques). هذا الكتيب المتواضع كان بمثابة الإعلان عن ولادة ما يُعرف اليوم بـ “مخطط أرجاند“. إن قرار أرجاند بالنشر المجهول يعكس ربما تواضعه أو عدم ثقته في قبول عمله من قبل المؤسسة الرياضية المهيمنة آنذاك. ولولا سلسلة من المصادفات السعيدة، لربما ظل عمل أرجاند مدفونًا في غياهب النسيان.

جوهر مخطط أرجاند: ترجمة الجبر إلى هندسة

يكمن الإلهام العبقري في عمل أرجاند في فكرته البسيطة والعميقة: إذا كان خط الأعداد الأفقي يمثل الأعداد الحقيقية، فلماذا لا نستخدم بُعدًا إضافيًا لتمثيل الأعداد التخيلية؟ اقترح أرجاند استخدام المحور الرأسي (المحور الصادي) لتمثيل الأعداد التخيلية، بينما يظل المحور الأفقي (المحور السيني) للأعداد الحقيقية. في هذا النظام، الذي أصبح يُعرف بالمستوى المركب أو مستوى أرجاند، لم يعد العدد المركب z = a + bi مجرد تعبير جبري، بل أصبح نقطة (a, b) في مستوى ثنائي الأبعاد. وبشكل مكافئ، يمكن تمثيله كمتجه (شعاع) ينطلق من نقطة الأصل (0, 0) وينتهي عند النقطة (a, b). هذا التمثيل البصري كان ثوريًا. فجأة، أصبحت العمليات الجبرية على الأعداد المركبة لها نظائر هندسية واضحة وملموسة على مخطط أرجاند.

• الجمع والطرح: جمع عددين مركبين z1 و z2 أصبح مكافئًا هندسيًا لجمع متجهيهما باستخدام قاعدة متوازي الأضلاع، وهي عملية بديهية في الفيزياء والهندسة.
• الضرب: وهنا تكمن العبقرية الحقيقية لنموذج أرجاند. أظهر أرجاند أن ضرب عدد مركب z1 في عدد مركب آخر z2 يعادل هندسيًا عملية دوران وتمدد. يتم جمع زاوية المتجهين (المعروفة بالسعة) ويتم ضرب طوليهما (المعروفين بالمعيار أو القيمة المطلقة). كان هذا التفسير للضرب هو الحلقة المفقودة. على وجه الخصوص، أصبح ضرب أي عدد في i مكافئًا لدورانه بزاوية 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة في مستوى أرجاند. هذا يفسر لماذا i^2 = -1؛ إنه دوران بمقدار 90 درجة مرتين، أي دوران بمقدار 180 درجة، وهو ما ينقل العدد الحقيقي 1 إلى -1. وبهذا، قدم أرجاند تفسيرًا هندسيًا منطقيًا لأكثر خصائص الأعداد التخيلية إثارة للحيرة. إن هذا الربط العميق بين الجبر والهندسة هو الإرث الخالد الذي تركه أرجاند.

النشر، والاكتشاف، ونسب الفضل

كما ذكرنا، نشر أرجاند عمله بشكل مجهول في عام 1806. لم يلق الكتيب اهتمامًا يذكر في البداية. ومع ذلك، وصلت نسخة منه إلى يد عالم الرياضيات الفرنسي الشهير أدريان ماري ليجاندر، الذي أشار إليه في إحدى مراسلاته. لكن القصة أخذت منعطفًا مثيرًا عندما قام عالم رياضيات آخر، وهو جاك فرانسيه، بنشر مقال عام 1813 يقدم فيه نفس الأفكار الأساسية، مشيرًا إلى أنه استلهمها من أفكار سمعها من ليجاندر الذي بدوره أشار إلى عمل المؤلف المجهول. أثار هذا المقال فضول جوزيف جيرجون، محرر المجلة، الذي نشر إشعارًا يطلب فيه من المؤلف المجهول لكتيب 1806 أن يكشف عن هويته. استجاب أرجاند للنداء، وفي عدد لاحق من المجلة، تم الاعتراف به رسميًا كمؤلف للفكرة الأصلية. هذه السلسلة من الأحداث ضمنت ألا يضيع إسهام أرجاند في التاريخ. ومع ذلك، من المهم أكاديميًا الإشارة إلى أن أرجاند لم يكن أول من توصل إلى هذه الفكرة. ففي عام 1799، قدم المساح النرويجي كاسبر فيسيل ورقة بحثية إلى الأكاديمية الدنماركية للعلوم تحتوي على نفس التمثيل الهندسي للأعداد المركبة، بل وكانت أكثر اكتمالًا من الناحية الرياضية. لسوء الحظ، نُشرت ورقته باللغة الدنماركية في مجلة غير معروفة على نطاق واسع، وظلت طي النسيان لما يقرب من قرن. لهذا السبب، على الرغم من أسبقية فيسيل، أصبح اسم “أرجاند” هو المرتبط عالميًا بهذا المخطط. كما يُعتقد أن كارل فريدريش جاوس، أحد أعظم علماء الرياضيات، كان يمتلك الفكرة نفسها منذ سنوات، لكنه لم ينشرها. لذلك، بينما كان أرجاند مكتشفًا مستقلًا وليس الأول تمامًا، فإن عمله هو الذي أدى إلى انتشار الفكرة وقبولها في المجتمع الرياضي الأوروبي الأوسع.

مساهمة أرجاند في المبرهنة الأساسية في الجبر

لم يقتصر إسهام أرجاند على تقديم المخطط البياني فحسب، بل استخدمه أيضًا لتقديم برهان على المبرهنة الأساسية في الجبر. تنص هذه المبرهنة على أن أي كثير حدود غير ثابت، بمعاملات مركبة، له جذر واحد على الأقل في مجموعة الأعداد المركبة. كان جاوس قد قدم براهين سابقة، لكنها كانت معقدة للغاية. في عام 1814، نشر أرجاند برهانًا جديدًا يعتمد بشكل كبير على الحدس الهندسي الذي يوفره مخططه. على الرغم من أن برهان أرجاند كان يحتوي على بعض الثغرات من منظور الصرامة الرياضية الحديثة (خاصة فيما يتعلق بمفاهيم الاستمرارية والنهايات الصغرى)، إلا أنه كان يعتبر خطوة مهمة إلى الأمام وكان مقنعًا بشكل كبير في وقته. لقد أظهر كيف يمكن للتفكير البصري المستمد من مخطط أرجاند أن يلقي ضوءًا جديدًا على المشاكل الجبرية العميقة. هذه المحاولة الجريئة لبرهنة واحدة من أهم نظريات الرياضيات تبرز عمق الفهم الذي كان يتمتع به أرجاند، وتؤكد أنه لم يكن مجرد شخص ابتكر رسمًا بيانيًا، بل كان مفكرًا رياضيًا أصيلًا. إن عمل أرجاند في هذا المجال يضعه في مصاف المساهمين المهمين في تطور التحليل المركب.

التطبيقات الحديثة وإرث مخطط أرجاند

قد يبدو مخطط أرجاند اليوم مفهومًا أساسيًا يُدرّس في المرحلة الثانوية، ولكن تأثيره يمتد إلى أعماق العلوم والهندسة الحديثة. إن القدرة على تصور الأعداد المركبة كمتجهات في مستوى ثنائي الأبعاد هي حجر الزاوية في العديد من التخصصات:

1. الهندسة الكهربائية: يستخدم المهندسون “الفازورات” (Phasors) لتحليل دوائر التيار المتردد (AC). الفازور هو عدد مركب يمثل سعة وجهد موجة جيبية. العمليات الحسابية المعقدة في الدوائر الكهربائية تصبح عمليات جبرية بسيطة للمتجهات عند تمثيلها على مخطط يشبه تمامًا مخطط أرجاند.
2. معالجة الإشارات والاتصالات: تقنيات مثل تحويل فورييه، التي تحلل الإشارات إلى تردداتها المكونة، تعتمد بشكل أساسي على الأعداد المركبة. يتيح مخطط أرجاند فهمًا مرئيًا لكيفية تفاعل سعات ومراحل هذه الترددات.
3. ميكانيكا الكم: في ميكانيكا الكم، توصف الحالات الكمومية بواسطة دوال موجية ذات قيم مركبة. القيمة المطلقة المربعة للدالة الموجية تعطي احتمالية وجود جسيم في مكان ما، وهو مفهوم يستمد جذوره من حساب معيار العدد المركب في مستوى أرجاند.
4. ديناميكا الموائع: تُستخدم الدوال المركبة لنمذجة تدفق الموائع ثنائية الأبعاد، حيث يوفر مخطط أرجاند الإطار الطبيعي لوصف مجالات السرعة والضغط.
5. الهندسة الكسيرية (Fractals): الأشكال الكسيرية الشهيرة مثل مجموعة ماندلبروت ومجموعات جوليا يتم إنشاؤها عن طريق عمليات تكرارية على الأعداد المركبة في المستوى المركب. إن الجمال اللامتناهي والتعقيد لهذه الأشكال هو نتيجة مباشرة للديناميكيات الهندسية التي وصفها أرجاند لأول مرة.

إن إرث أرجاند الحقيقي ليس مجرد المخطط الذي يحمل اسمه، بل هو التحول في العقلية الرياضية الذي أحدثه. لقد أثبت أرجاند أن التجريد الرياضي يمكن أن يجد له موطنًا في الحدس الهندسي. لقد حرر الأعداد التخيلية من قيودها “الوهمية” وجعلها أدوات قوية وملموسة.

الخاتمة: العبقري المتواضع الذي ترك بصمة خالدة

يمثل جان روبير أرجاند نموذجًا فريدًا في تاريخ العلم. لم يكن أستاذًا جامعيًا أو عضوًا بارزًا في أكاديمية مرموقة، بل كان مواطنًا عاديًا، محاسبًا شغوفًا بالرياضيات. ومع ذلك، فإن فضوله الفكري ورؤيته الثاقبة قدما للعالم هدية لا تقدر بثمن. إن مخطط أرجاند هو شهادة على قوة البساطة والأناقة في الرياضيات. لقد أخذ مفهومًا كان يُعتبر متناقضًا ومجردًا وحوله إلى أداة بصرية بديهية. من خلال ربط الجبر بالهندسة، فتح أرجاند الباب أمام تطور فرع كامل من الرياضيات يُعرف بالتحليل المركب، والذي بدوره أصبح لغة أساسية في الفيزياء والهندسة الحديثة. على الرغم من أن آخرين قد توصلوا إلى الفكرة نفسها بشكل مستقل أو حتى قبله، إلا أن التاريخ، بفضل سلسلة من الأحداث المحظوظة، اختار اسم أرجاند ليقترن إلى الأبد بالتمثيل الهندسي للأعداد المركبة. وفي النهاية، فإن قصة أرجاند هي تذكير ملهم بأن الإسهامات العظيمة يمكن أن تأتي من أكثر الأماكن غير المتوقعة، وأن الشغف والحدس يمكن أن يضيئا أحلك زوايا المعرفة الإنسانية. إن إرث أرجاند حي في كل مرة يستخدم فيها مهندس فازورًا، أو يحلل فيها فيزيائي دالة موجية، أو يستكشف فيها عالم رياضيات جمال مجموعة ماندلبروت، مما يثبت أن عمل هذا المحاسب السويسري المتواضع قد رسم بالفعل الأعداد التخيلية على خريطة الواقع بشكل دائم.

الأسئلة الشائعة

1. من هو جان روبير أرجاند، وما الذي يجعله شخصية مهمة في تاريخ الرياضيات؟

جان روبير أرجاند (1768-1822) كان عالم رياضيات هاوٍ سويسريًا، اشتهر بكونه أحد المكتشفين المستقلين للتمثيل الهندسي للأعداد المركبة. أهميته لا تنبع من كونه رياضيًا محترفًا -فقد كان يعمل محاسبًا وصاحب مكتبة- بل من عبقرية إسهامه الذي نشره عام 1806. في زمن كانت فيه الأعداد “التخيلية” مجرد رموز جبرية محيرة وغير مفهومة، قدم أرجاند فكرة ثورية تتمثل في تمثيل العدد المركب a + bi كنقطة (a, b) في مستوى ثنائي الأبعاد، والذي يُعرف اليوم بـ “مخطط أرجاند” أو “المستوى المركب”. هذا التحول من التجريد الجبري إلى التصور الهندسي أزال الغموض عن الأعداد المركبة، وأعطاها وجودًا ملموسًا، وفتح الباب لتطبيقات واسعة في الفيزياء والهندسة، مما يجعله شخصية محورية في تطور التحليل المركب.

2. ما هو مخطط أرجاند بالضبط، وكيف يعمل؟

مخطط أرجاند هو نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد يُستخدم لتمثيل الأعداد المركبة هندسيًا. يتكون المخطط من محورين متعامدين: المحور الأفقي (محور السينات) الذي يمثل الجزء الحقيقي للعدد المركب، ويُسمى “المحور الحقيقي”؛ والمحور الرأسي (محور الصادات) الذي يمثل الجزء التخيلي، ويُسمى “المحور التخيلي”. في هذا النظام، يمكن تمثيل أي عدد مركب z = a + bi إما كنقطة لها الإحداثيات (a, b) أو كمتجه (شعاع) يبدأ من نقطة الأصل (0, 0) وينتهي عند تلك النقطة. هذا التمثيل البصري يسمح بترجمة العمليات الجبرية على الأعداد المركبة إلى عمليات هندسية: فالجمع يصبح جمعًا للمتجهات، والضرب يصبح عملية دوران وتمدد (Scaling)، مما يوفر فهمًا حدسيًا عميقًا لسلوك هذه الأعداد.

3. هل كان أرجاند هو أول من اكتشف التمثيل الهندسي للأعداد المركبة؟

أكاديميًا، لم يكن أرجاند الأول تمامًا. السبق التاريخي يعود للمسّاح النرويجي كاسبر فيسيل (Caspar Wessel)، الذي قدم نفس الفكرة في ورقة بحثية للأكاديمية الملكية الدنماركية للعلوم عام 1799، أي قبل نشر أرجاند لعمله بسبع سنوات. ومع ذلك، نُشرت ورقة فيسيل باللغة الدنماركية وفي دورية ذات انتشار محدود، مما أدى إلى بقائها في طي النسيان لما يقرب من قرن. في المقابل، وعلى الرغم من أن أرجاند نشر عمله بشكل مجهول في البداية، إلا أنه انتشر في الأوساط الرياضية الفرنسية المؤثرة، مما أدى إلى تبنيه وشهرته. لهذا السبب، ارتبط اسم “أرجاند” تاريخيًا بالمخطط على نطاق أوسع، على الرغم من الاعتراف الرسمي اليوم بأسبقية فيسيل.

4. ما هي أهمية تفسير عملية الضرب في مخطط أرجاند؟

تكمن عبقرية مخطط أرجاند بشكل خاص في تفسيره الهندسي لعملية الضرب. فبينما كان الجمع بديهيًا، كان الضرب لغزًا. أظهر أرجاند أن ضرب عددين مركبين يعادل هندسيًا عمليتين: تدوير وتغيير في الطول. عند ضرب z1 في z2، فإن طول المتجه الناتج (المعيار) هو حاصل ضرب طولي المتجهين الأصليين، وزاوية المتجه الناتج (السعة) هي مجموع زاويتي المتجهين. كان هذا التفسير بمثابة إنجاز مفاهيمي هائل، لأنه قدم تفسيرًا منطقيًا وهندسيًا للعلاقة i^2 = -1. فالضرب في i (الذي يقع على المحور التخيلي الموجب بزاوية 90 درجة) يعادل دوران المتجه بزاوية 90 درجة عكس عقارب الساعة. بالتالي، الضرب في i مرتين هو دوران بمقدار 180 درجة، وهو ما يحول العدد 1 إلى -1.

5. كيف يختلف مخطط أرجاند عن المستوى الديكارتي التقليدي؟

على الرغم من أن كليهما يستخدم محورين متعامدين (x, y)، إلا أن هناك فرقًا جوهريًا في البنية الرياضية والتفسير. المستوى الديكارتي هو فضاء متجهي حقيقي ثنائي الأبعاد (ℝ²)، حيث تمثل النقاط أزواجًا مرتبة من الأعداد الحقيقية. أما مخطط أرجاند فهو تمثيل هندسي لحقل الأعداد المركبة (ℂ)، وهو بنية جبرية أغنى بكثير. النقطة (a, b) في مخطط أرجاند ليست مجرد زوج مرتب، بل هي عدد واحد a + bi. هذا يسمح بتعريف عمليات مثل الضرب والقسمة بين النقاط بطريقة متسقة جبريًا (الدوران والتمدد)، وهو أمر غير ممكن بنفس المعنى في المستوى الديكارتي القياسي. باختصار، مخطط أرجاند يضفي بنية جبرية إضافية على المستوى الهندسي.

6. ما هي مساهمة أرجاند الأخرى بخلاف المخطط الذي يحمل اسمه؟

بالإضافة إلى تقديمه للمخطط، استخدم أرجاند رؤيته الهندسية الجديدة لتقديم برهان على “المبرهنة الأساسية في الجبر” في عام 1814. تنص هذه المبرهنة على أن كل معادلة كثير حدود من الدرجة n (حيث n ≥ 1) لها على الأقل جذر واحد في مجموعة الأعداد المركبة. كان برهان أرجاند يعتمد بشكل كبير على الحدس الطوبولوجي والمفاهيم المستمدة من مخططه، ورغم أنه لم يكن كامل الصرامة بالمعايير الحديثة، إلا أنه كان خطوة مهمة ومؤثرة في تاريخ هذه المبرهنة، وأظهر القوة التفسيرية لنموذجه الهندسي في حل المسائل الجبرية البحتة.

7. كيف أثر عمل أرجاند على تطور الرياضيات؟

كان تأثير عمل أرجاند عميقًا وبعيد المدى. أولاً، أضفى الشرعية على الأعداد المركبة وحولها من “أوهام” جبرية إلى كيانات هندسية مفهومة. ثانيًا، وضع الأساس لفرع كامل من الرياضيات يُعرف بـ “التحليل المركب”، الذي يدرس الدوال ذات المتغيرات المركبة. أصبح التحليل المركب أداة لا غنى عنها في العديد من فروع الرياضيات والفيزياء، بما في ذلك نظرية الأعداد، والهندسة التفاضلية، وميكانيكا الكم، وديناميكا الموائع. لقد كان مخطط أرجاند هو الجسر الذي سمح للرياضيين بالعبور من الجبر إلى عالم التحليل المركب الغني.

8. ما هي أبرز التطبيقات العملية الحديثة لمخطط أرجاند؟

يظهر إرث أرجاند بشكل واضح في العديد من المجالات التكنولوجية والعلمية الحديثة. في الهندسة الكهربائية، يُستخدم مفهوم “الفازور” (وهو تطبيق مباشر لمخطط أرجاند) لتحليل دوائر التيار المتردد. وفي معالجة الإشارات، يُعد تحويل فورييه، الذي يعتمد على الأعداد المركبة، أساسيًا في الاتصالات والصوتيات وضغط الصور. وفي الفيزياء، تُستخدم الأعداد المركبة في ميكانيكا الكم لوصف الدوال الموجية، وفي ديناميكا الموائع لنمذجة تدفق السوائل. كما أن الهندسة الكسيرية (Fractals)، مثل مجموعة ماندلبروت، يتم إنشاؤها بالكامل في المستوى المركب الذي قدمه أرجاند.

9. ما العلاقة بين مخطط أرجاند وصيغة أويلر الشهيرة؟

هناك علاقة وثيقة ومكملة بينهما. صيغة أويلر، e^(ix) = cos(x) + i sin(x)، هي الرابط الجبري بين الدوال الأسية والدوال المثلثية. مخطط أرجاند يقدم التمثيل الهندسي المثالي لهذه الصيغة. في المخطط، العدد المركب e^(ix) يمثل نقطة على دائرة الوحدة (دائرة نصف قطرها 1 ومركزها نقطة الأصل) تصنع زاوية x مع المحور الحقيقي. الجزء الحقيقي للنقطة هو cos(x) والجزء التخيلي هو sin(x). بالتالي، يوضح مخطط أرجاند بصريًا كيف أن ضرب الأعداد المركبة ذات المعيار 1 (مثل e^(ix)) يعادل ببساطة الدوران على دائرة الوحدة، وهو ما يتوافق تمامًا مع خصائص الدالة الأسية.

10. لماذا يُعتبر أرجاند مثالًا ملهمًا في تاريخ العلوم؟

تعتبر قصة أرجاند ملهمة لأنها تجسد فكرة أن الاكتشافات العلمية العظيمة ليست حكرًا على الأكاديميين المحترفين. كان أرجاند شخصًا من خارج المؤسسة العلمية الرسمية، دفعه شغفه الشخصي وفضوله الفكري إلى التأمل في واحدة من أعمق المشكلات الرياضية في عصره. نجاحه في تقديم حل أنيق وفعال يثبت أن الرؤية الثاقبة والحدس السليم يمكن أن يكونا بنفس أهمية التدريب الرسمي. إنه يمثل انتصار المفكر المستقل، ويذكرنا بأن الأفكار الثورية يمكن أن تنشأ من أي عقل متقد، بغض النظر عن مهنته أو خلفيته.