الأعداد الأولية: ما أسرارها وكيف تشكل لبنة بناء الرياضيات؟

تمثل الأعداد الأولية واحدة من أكثر المفاهيم الرياضية إثارة للفضول والتساؤل عبر التاريخ. إنها أعداد بسيطة في تعريفها، لكنها عميقة في تأثيرها على كل شيء من النظريات الرياضية المجردة إلى أنظمة الأمان الرقمي التي نستخدمها يومياً.

المقدمة

منذ فجر الحضارة الإنسانية، انجذب العلماء والفلاسفة إلى دراسة خصائص الأعداد وأنماطها المختلفة؛ إذ وجدوا في الأعداد الأولية نوعاً فريداً لا يمكن تجزئته أو تقسيمه بسهولة. لقد اكتشف الإغريق القدماء، وتحديداً إقليدس في القرن الثالث قبل الميلاد، أن هذه الأعداد لا نهائية، وهو اكتشاف زلزل أركان الفكر الرياضي آنذاك. إن دراسة هذه الأعداد ليست مجرد تمرين ذهني أكاديمي، بل هي استكشاف لأحد أعمق الألغاز التي تواجه البشرية. فقد حاول علماء الرياضيات على مر العصور فهم توزيعها وسلوكها، لكنها ظلت تفاجئهم بخصائص جديدة ومحيرة. بالإضافة إلى ذلك، فإن التطبيقات العملية لهذه الأعداد في عصرنا الحديث تجعلها أكثر من مجرد موضوع نظري، بل أداة حيوية لحماية خصوصيتنا وأماننا الرقمي.

ما هي الأعداد الأولية وما تعريفها الرياضي؟

تُعرّف الأعداد الأولية بأنها الأعداد الطبيعية الأكبر من واحد والتي لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى الواحد دون باقي. هذا التعريف البسيط يخفي وراءه عمقاً رياضياً هائلاً. فالعدد 2 هو أصغر عدد أولي وهو العدد الأولي الزوجي الوحيد، بينما جميع الأعداد الأولية الأخرى فردية. فهل يا ترى هذا يعني أن كل عدد فردي هو عدد أولي؟ الإجابة قطعاً لا؛ إذ إن العدد 9 مثلاً فردي لكنه يقبل القسمة على 3، وبالتالي فهو ليس عدداً أولياً.

من ناحية أخرى، تشكل الأعداد الأولية اللبنات الأساسية لجميع الأعداد الصحيحة، تماماً كما تشكل الذرات اللبنات الأساسية للمادة. كما أن كل عدد صحيح أكبر من واحد يمكن كتابته كحاصل ضرب أعداد أولية بطريقة وحيدة، وهذا ما يُسمى بـ “المبرهنة الأساسية في الحساب” (Fundamental Theorem of Arithmetic). على سبيل المثال، العدد 30 يساوي 2 × 3 × 5، وهذا التحليل الوحيد له. إن هذه الخاصية تجعل الأعداد الأولية بمثابة الأحرف الأبجدية في لغة الأعداد، حيث تتشكل منها جميع الكلمات العددية الأخرى.

كيف يمكن التعرف على الأعداد الأولية؟

طرق فحص الأولية

تحديد ما إذا كان عدد معين أولياً أم لا يشكل تحدياً رياضياً يزداد صعوبة مع زيادة حجم العدد. بالنسبة للأعداد الصغيرة، يمكننا استخدام طرق بسيطة ومباشرة. لقد طور الرياضيون عبر القرون عدة خوارزميات وطرق للكشف عن هذه الأعداد، بعضها قديم وبعضها حديث يعتمد على قدرات الحواسيب الفائقة.

إليك أبرز الطرق المستخدمة للتعرف على الأعداد الأولية:

• طريقة القسمة المباشرة: فحص قابلية القسمة على جميع الأعداد من 2 حتى الجذر التربيعي للعدد المراد فحصه
• غربال إراتوستينس (Sieve of Eratosthenes): خوارزمية قديمة تستبعد مضاعفات كل عدد أولي للوصول إلى قائمة بالأعداد الأولية
• اختبار فيرما (Fermat Primality Test): طريقة احتمالية سريعة لكنها ليست دقيقة بنسبة 100%
• اختبار ميلر-رابين (Miller-Rabin Test): خوارزمية احتمالية حديثة أكثر دقة وتستخدم في التطبيقات العملية
• اختبار AKS: أول خوارزمية حتمية تعمل في زمن متعدد الحدود، اكتُشفت عام 2002

بينما تعمل الطرق القديمة بكفاءة مع الأعداد الصغيرة، فإن الأعداد الكبيرة جداً التي تحتوي على مئات أو آلاف الأرقام تتطلب خوارزميات متقدمة. الجدير بالذكر أن مشروع “البحث عن أعداد مرسين الأولية” (GIMPS) استخدم قوة الحوسبة الموزعة لاكتشاف أكبر عدد أولي معروف حتى الآن، والذي يحتوي على أكثر من 24 مليون رقم. إن هذا الإنجاز يوضح كيف تطورت أدواتنا للتعامل مع هذه الأعداد الغامضة عبر الزمن.

لماذا تُعَدُّ الأعداد الأولية أساس الرياضيات؟

تحتل الأعداد الأولية مكانة مركزية في نظرية الأعداد وفي الرياضيات بشكل عام. فما هي الأسباب التي تجعلها بهذه الأهمية؟ الإجابة هي أن كل بناء رياضي يتعلق بالأعداد الصحيحة يعتمد بشكل أو بآخر على هذه الأعداد. إن فهم خصائص الأعداد الأولية يفتح الباب لفهم أعمق لجميع الأعداد الأخرى. لقد أثبت عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش غاوس في القرن التاسع عشر أن كثافة الأعداد الأولية تتناقص تدريجياً كلما تقدمنا في سلسلة الأعداد، لكنها لا تختفي أبداً.

وعليه فإن دراسة توزيع الأعداد الأولية أصبحت من أكثر المجالات تحدياً في الرياضيات الحديثة. كما أن “مبرهنة الأعداد الأولية” (Prime Number Theorem) التي أثبتها جاك هادامارد وشارل دو لا فاليه بوسان عام 1896 تعطينا تقديراً دقيقاً لعدد الأعداد الأولية الأقل من عدد معين. هذا وقد ارتبطت الأعداد الأولية بواحدة من أصعب المسائل الرياضية المفتوحة وهي “فرضية ريمان” (Riemann Hypothesis)، التي لو حُلّت ستكشف أسراراً عميقة عن طبيعة توزيع هذه الأعداد وستقدم لنا فهماً ثورياً للبنية الرياضية للكون العددي.

ما هي أشهر خصائص الأعداد الأولية؟

السمات المميزة للأعداد الأولية

تتمتع الأعداد الأولية بخصائص فريدة تميزها عن بقية الأعداد الطبيعية. فقد اكتشف علماء الرياضيات عبر العصور أنماطاً مثيرة للاهتمام في سلوك هذه الأعداد، رغم أن توزيعها يبدو عشوائياً للوهلة الأولى. إن دراسة هذه الخصائص ليست مجرد متعة فكرية، بل لها تطبيقات عملية في مجالات متنوعة من التشفير إلى علم الحاسوب.

من أبرز خصائص الأعداد الأولية ما يلي:

• اللانهائية: أثبت إقليدس أن عدد الأعداد الأولية غير محدود، مما يعني وجود أعداد أولية أكبر من أي عدد نختاره
• التوأمية: توجد أزواج من الأعداد الأولية المتجاورة بفارق 2 فقط مثل (3، 5) و(11، 13) وتسمى الأعداد الأولية التوأم
• عدم الانتظام: لا توجد صيغة رياضية بسيطة تولد جميع الأعداد الأولية بشكل متسلسل ومنتظم
• كثافة متناقصة: تصبح الأعداد الأولية أكثر ندرة كلما تقدمنا في سلسلة الأعداد، لكنها لا تنقطع
• أعداد مرسين: أعداد أولية خاصة على شكل 2^n – 1، وهي نادرة جداً ويصعب إيجادها
• توزيع الفجوات: المسافات بين الأعداد الأولية المتتالية تتغير بشكل غير متوقع

بالمقابل، توجد أعداد مركبة (غير أولية) يسهل التعرف عليها من خلال قواعد القسمة البسيطة. على النقيض من ذلك، فإن الأعداد الأولية الكبيرة تتطلب فحصاً دقيقاً ومعقداً. انظر إلى كيف أن العدد 2 فريد بكونه العدد الأولي الزوجي الوحيد، وكذلك فإن الأعداد 2 و3 و5 هي الأعداد الأولية الوحيدة المتتالية في النظام العددي. إن هذه الخصائص المتنوعة تجعل دراسة الأعداد الأولية مجالاً خصباً للبحث والاستكشاف المستمر.

كيف استخدمت الحضارات القديمة الأعداد الأولية؟

تعود معرفة البشرية بالأعداد الأولية إلى آلاف السنين. لقد وجد المؤرخون دلائل على أن المصريين القدماء والبابليين كانوا يدركون وجود أعداد لا تقبل القسمة بسهولة، رغم أنهم لم يصيغوا تعريفاً رياضياً دقيقاً لها. إن أول دراسة منهجية موثقة للأعداد الأولية جاءت من الإغريق القدماء؛ إذ قدم فيثاغورس وتلاميذه في القرن السادس قبل الميلاد دراسات حول خصائص الأعداد وتصنيفاتها المختلفة.

من جهة ثانية، يُعَدُّ إقليدس الإسكندري صاحب الإسهام الأكثر تأثيراً في دراسة الأعداد الأولية القديمة. في كتابه الشهير “العناصر” (Elements) الذي كتبه حوالي عام 300 قبل الميلاد، قدم إقليدس برهاناً أنيقاً على أن الأعداد الأولية لا نهائية، وهو برهان لا يزال يُدرّس حتى اليوم لبساطته وجماله المنطقية. كما أن عالم الرياضيات اليوناني إراتوستينس ابتكر في القرن الثالث قبل الميلاد خوارزمية بارعة لإيجاد الأعداد الأولية تُعرف بـ “غربال إراتوستينس”، وهي طريقة لا تزال تُستخدم في التعليم الأساسي. وبالتالي، فإن إرث الحضارة اليونانية في هذا المجال وضع الأسس التي بُنيت عليها جميع الدراسات اللاحقة للأعداد الأولية عبر القرون المتعاقبة.

ما أهمية الأعداد الأولية في التشفير المعاصر؟

في عصرنا الرقمي الحديث، اكتسبت الأعداد الأولية أهمية عملية غير مسبوقة في مجال أمن المعلومات والتشفير. فهل سمعت به من قبل أن كل معاملة بنكية إلكترونية تقوم بها محمية بواسطة خصائص هذه الأعداد؟ إن نظام التشفير الأكثر انتشاراً في العالم، والمعروف بـ RSA (نسبة لمخترعيه ريفست وشامير وأدلمان)، يعتمد كلياً على صعوبة تحليل الأعداد الكبيرة جداً إلى عواملها الأولية. لقد أحدث هذا الاكتشاف في سبعينيات القرن العشرين ثورة في عالم الاتصالات الآمنة والتجارة الإلكترونية.

تكمن عبقرية نظام RSA في حقيقة بسيطة: ضرب عددين أوليين كبيرين سهل جداً حتى للحواسيب العادية، بينما العملية العكسية (أي تحليل حاصل الضرب إلى عامليه الأوليين) صعبة للغاية وتتطلب وقتاً طويلاً حتى لأقوى الحواسيب في العالم. إذاً كيف يعمل هذا عملياً؟ يتم اختيار عددين أوليين ضخمين يحتوي كل منهما على مئات الأرقام، ثم يُضربان معاً لإنتاج ما يُسمى بـ “المفتاح العام”. وعليه فإن أي شخص يريد كسر هذا التشفير سيحتاج إلى تحليل هذا العدد الهائل إلى عامليه الأوليين، وهو ما قد يستغرق آلاف السنين بالتقنيات الحالية. ومما يثير القلق في المجتمع العلمي اليوم هو احتمال ظهور الحواسيب الكمومية القادرة على كسر هذه الأنظمة، مما يدفع الباحثين للعمل على أنظمة تشفير جديدة مقاومة للحوسبة الكمومية.

هل توجد صيغة لتوليد الأعداد الأولية؟

لطالما سعى علماء الرياضيات إلى إيجاد صيغة رياضية بسيطة تولد جميع الأعداد الأولية أو حتى أعداداً أولية بشكل منتظم. برأيكم ماذا كانت نتيجة هذا البحث الذي استمر قروناً؟ الإجابة هي أنه حتى الآن، لا توجد صيغة بسيطة ومباشرة تنتج جميع الأعداد الأولية حصرياً. فقد جرب الرياضيون عدة محاولات، بعضها أنتج أعداداً أولية لمدى معين ثم فشل، وبعضها معقد جداً لدرجة أنه غير عملي.

من أشهر المحاولات صيغة فيرما للأعداد الأولية: F_n = 2^(2^n) + 1. لقد اعتقد بيير دي فيرما في القرن السابع عشر أن هذه الصيغة تنتج أعداداً أولية دائماً، وبالفعل أنتجت أعداداً أولية للقيم الأولى (n = 0, 1, 2, 3, 4). لكن عالم الرياضيات السويسري ليونارد أويلر أثبت لاحقاً أن الحالة n = 5 تعطي عدداً مركباً، مما أبطل الفرضية. بالإضافة إلى ذلك، هناك متعددة حدود مثل n² + n + 41 التي تنتج أعداداً أولية لقيم كثيرة من n (من 0 إلى 39)، لكنها تفشل عند n = 40. إن هذا الفشل المتكرر في إيجاد صيغة شاملة يعكس الطبيعة العميقة والغامضة لتوزيع الأعداد الأولية، ويوضح لنا أن هذه الأعداد تحتفظ بأسرارها بإحكام رغم آلاف السنين من الدراسة المكثفة.

ما المسائل الرياضية الشهيرة المرتبطة بالأعداد الأولية؟

تحيط بالأعداد الأولية عدة مسائل رياضية لم تُحل بعد، بعضها يحمل جوائز مالية ضخمة لمن يتمكن من حلها. إن أشهر هذه المسائل هي “فرضية ريمان” التي صاغها برنارد ريمان عام 1859، والتي تتعلق بتوزيع الأعداد الأولية على خط الأعداد. هذه الفرضية واحدة من “مسائل الألفية السبع” التي حددها معهد كلاي للرياضيات، وتبلغ الجائزة لمن يحلها مليون دولار أمريكي. فما هي فرضية ريمان تحديداً؟ إنها تتعلق بدالة زيتا لريمان وأصفار هذه الدالة، وحلها سيكشف لنا عن نمط دقيق في توزيع الأعداد الأولية.

من ناحية أخرى، توجد “حدسية الأعداد الأولية التوأم” (Twin Prime Conjecture) التي تفترض وجود عدد لا نهائي من أزواج الأعداد الأولية المتجاورة بفارق 2، مثل (3، 5) و(11، 13) و(17، 19). رغم أن الحدس يشير إلى صحة هذه الفرضية، إلا أنها لم تُثبت رياضياً بعد. كما أن “حدسية غولدباخ” (Goldbach’s Conjecture) التي تقول إن كل عدد زوجي أكبر من 2 يمكن كتابته كمجموع عددين أوليين، لا تزال بلا برهان رغم مرور أكثر من 280 عاماً على طرحها. وكذلك هناك مسألة “الفجوات بين الأعداد الأولية” التي حقق فيها الرياضيون تقدماً ملحوظاً في السنوات الأخيرة، خاصة بعد عمل عالم الرياضيات يتانغ تشانغ عام 2013 الذي أثبت وجود عدد لا نهائي من أزواج الأعداد الأولية التي لا يزيد الفرق بينها عن 70 مليون (رقم كبير لكنه محدود). إن هذه المسائل المفتوحة تُظهر أن الأعداد الأولية لا تزال تحتفظ بكثير من أسرارها رغم آلاف السنين من البحث.

الخاتمة

لقد رأينا كيف أن الأعداد الأولية تشكل العمود الفقري للنظام العددي بأكمله، وكيف تطورت دراستها من فضول فلسفي في العصور القديمة إلى علم دقيق له تطبيقات حيوية في عالمنا الرقمي المعاصر. إن هذه الأعداد البسيطة في تعريفها تخفي تعقيداً مذهلاً في سلوكها وتوزيعها، وهي تقف في قلب بعض أعمق الألغاز الرياضية التي تواجه البشرية. من حماية معلوماتنا الشخصية في العصر الرقمي إلى فهم البنية الأساسية للأعداد، تستمر الأعداد الأولية في إثبات أهميتها المحورية. فقد قطعت البشرية شوطاً طويلاً منذ أيام إقليدس وإراتوستينس، لكن الرحلة لم تنتهِ بعد. إن كل اكتشاف جديد يفتح أسئلة جديدة، وكل برهان رياضي يكشف عن طبقات أعمق من التعقيد والجمال الرياضي.

ومما يثير الإعجاب أن هذه الأعداد التي تبدو مجردة ونظرية بحتة أصبحت حجر الزاوية في الحضارة الرقمية الحديثة. إن فهمنا المتزايد للأعداد الأولية لا يثري المعرفة الرياضية فحسب، بل يعزز أمننا الرقمي ويحمي خصوصيتنا في عالم متصل بشكل متزايد. الجدير بالذكر أن المستقبل يحمل تحديات جديدة مع ظهور تقنيات مثل الحوسبة الكمومية، التي قد تغير قواعد اللعبة تماماً في مجال التشفير القائم على الأعداد الأولية.

هل ستكون أنت من يكتشف النمط المخفي في توزيع الأعداد الأولية، أو من يحل إحدى المسائل الرياضية الكبرى المرتبطة بها؟

الأسئلة الشائعة

هل العدد 1 يُعَدُّ من الأعداد الأولية؟
لا، العدد 1 ليس عدداً أولياً وفقاً للتعريف الرياضي الحديث؛ إذ تُعرّف الأعداد الأولية بأنها الأعداد الطبيعية الأكبر من واحد والتي لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى الواحد. لقد استثنى علماء الرياضيات العدد 1 من التصنيف لأسباب تتعلق بالمبرهنة الأساسية في الحساب، التي تنص على أن كل عدد صحيح يمكن تحليله إلى جداء أعداد أولية بطريقة وحيدة فقط. إن اعتبار الواحد عدداً أولياً سيخرب هذه الوحدانية في التحليل.

لماذا العدد 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد؟
العدد 2 فريد بين الأعداد الأولية لأنه الوحيد الزوجي، بينما جميع الأعداد الأولية الأخرى فردية. السبب منطقي وبسيط: أي عدد زوجي آخر غير 2 يقبل القسمة على 2 دون باقي، وبالتالي فهو ليس أولياً بحكم التعريف. فالعدد 4 مثلاً يساوي 2 × 2، والعدد 6 يساوي 2 × 3، وهكذا. إن العدد 2 يحتل مكانة خاصة في نظرية الأعداد لهذا السبب، وهو أساس كل الأعداد الزوجية في النظام العددي.

كم عدد الأعداد الأولية الموجودة؟
الأعداد الأولية لا نهائية، وهذه حقيقة رياضية مثبتة منذ أكثر من ألفي عام. لقد قدم عالم الرياضيات الإغريقي إقليدس برهاناً أنيقاً على هذه الحقيقة في كتابه العناصر. يعتمد البرهان على افتراض العكس (أن الأعداد الأولية محدودة) ثم إظهار أن هذا الافتراض يؤدي إلى تناقض منطقي. وعليه فإن البحث عن أعداد أولية أكبر فأكبر يستمر حتى يومنا هذا، مع اكتشاف أعداد أولية تحتوي على ملايين الأرقام باستخدام الحواسيب الفائقة.

ما هي أعداد مرسين الأولية؟
أعداد مرسين الأولية هي أعداد أولية خاصة تأخذ الشكل الرياضي 2^p – 1 حيث p نفسه عدد أولي. سُميت نسبة إلى الراهب الفرنسي مارين مرسين الذي درسها في القرن السابع عشر. ليست كل الأعداد التي تأخذ هذا الشكل أولية بالضرورة، لكن الأعداد الأولية الضخمة المكتشفة حديثاً معظمها من هذا النوع. إن أكبر عدد أولي معروف حالياً هو عدد مرسين يحتوي على أكثر من 24 مليون رقم، وقد اكتُشف عام 2018 ضمن مشروع البحث الموزع GIMPS.

هل يمكن للحواسيب اكتشاف جميع الأعداد الأولية؟
لا يمكن للحواسيب اكتشاف جميع الأعداد الأولية لأنها لا نهائية العدد. لكن الحواسيب تستطيع إيجاد قوائم بالأعداد الأولية ضمن نطاق معين، أو البحث عن أعداد أولية ضخمة محددة باستخدام خوارزميات متقدمة. فقد أحدثت الحواسيب الحديثة ثورة في هذا المجال، حيث مكّنت الباحثين من اختبار أعداد تحتوي على ملايين الأرقام. بالإضافة إلى ذلك، فإن مشاريع الحوسبة الموزعة تستخدم قوة آلاف الحواسيب حول العالم للبحث عن أعداد أولية قياسية جديدة.

كيف تُستخدم الأعداد الأولية في حياتنا اليومية؟
تُستخدم الأعداد الأولية بشكل رئيس في أنظمة التشفير التي تحمي معاملاتنا المصرفية الإلكترونية، وعمليات الشراء عبر الإنترنت، وحماية البريد الإلكتروني والبيانات الحساسة. إن نظام التشفير RSA الذي يعتمد على صعوبة تحليل الأعداد الكبيرة إلى عواملها الأولية هو العمود الفقري لأمن المعلومات في العصر الرقمي. كما أن تطبيقات متعددة في علم الحاسوب وتصميم الخوارزميات وحتى في بعض الظواهر الطبيعية تعتمد على خصائص الأعداد الأولية، مما يجعلها جزءاً لا يتجزأ من البنية التحتية التكنولوجية الحديثة.

ما الفرق بين الأعداد الأولية والأعداد المركبة؟
الأعداد الأولية هي الأعداد الطبيعية الأكبر من 1 التي لها قاسمان فقط هما 1 ونفسها، بينما الأعداد المركبة هي الأعداد الطبيعية الأكبر من 1 التي لها أكثر من قاسمين. فالعدد 7 أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى 7، بينما العدد 12 مركب لأنه يقبل القسمة على 1 و2 و3 و4 و6 و12. إن هذا التصنيف ثنائي يشمل جميع الأعداد الطبيعية الأكبر من واحد، ويشكل أساساً لفهم البنية الحسابية للأعداد الصحيحة. الجدير بالذكر أن العدد 1 لا يُصنف ضمن أي من الفئتين.

لماذا لا توجد صيغة بسيطة لتوليد الأعداد الأولية؟
غياب صيغة بسيطة لتوليد جميع الأعداد الأولية يعكس الطبيعة العميقة والمعقدة لتوزيع هذه الأعداد. لقد حاول علماء الرياضيات على مر القرون إيجاد نمط منتظم أو معادلة رياضية تنتج أعداداً أولية فقط، لكن جميع المحاولات فشلت في النهاية. إن توزيع الأعداد الأولية يبدو شبه عشوائي رغم وجود قوانين إحصائية تحكم كثافتها. هذا التناقض بين البساطة في التعريف والتعقيد في التوزيع هو ما يجعل الأعداد الأولية من أكثر المواضيع إثارة في الرياضيات، ويفسر لماذا لا تزال محط اهتمام بحثي مكثف حتى اليوم.

ما هي فرضية غولدباخ وهل تم إثباتها؟
فرضية غولدباخ هي واحدة من أقدم المسائل الرياضية المفتوحة، وقد طرحها عالم الرياضيات الألماني كريستيان غولدباخ عام 1742. تنص الفرضية على أن كل عدد زوجي أكبر من 2 يمكن كتابته كمجموع عددين أوليين. فالعدد 4 يساوي 2+2، والعدد 10 يساوي 3+7 أو 5+5، والعدد 100 يساوي 3+97 أو 11+89، وهكذا. رغم أن الفرضية اختُبرت حاسوبياً لأعداد ضخمة جداً ووُجدت صحيحة في جميع الحالات، إلا أنها لم تُثبت رياضياً بشكل عام حتى اليوم. إن إثبات أو دحض هذه الفرضية سيُعَدُّ إنجازاً رياضياً كبيراً.

كيف يؤثر ظهور الحواسيب الكمومية على التشفير القائم على الأعداد الأولية؟
الحواسيب الكمومية تشكل تهديداً جدياً لأنظمة التشفير الحالية القائمة على الأعداد الأولية. لقد طور عالم الرياضيات بيتر شور عام 1994 خوارزمية كمومية قادرة نظرياً على تحليل الأعداد الكبيرة إلى عواملها الأولية في وقت قصير جداً مقارنة بالحواسيب التقليدية، مما سيجعل نظام RSA وأنظمة تشفير مشابهة غير آمنة. لكن الحواسيب الكمومية لا تزال في مراحلها المبكرة ولم تصل بعد إلى القدرة الكافية لتهديد الأنظمة الحالية. وعليه فإن علماء التشفير يعملون حالياً على تطوير أنظمة تشفير جديدة مقاومة للحوسبة الكمومية، في مجال يُعرف بـ “التشفير ما بعد الكمومي”، لضمان استمرار أمن المعلومات في المستقبل.